Xreferat.com » Рефераты по математике » О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»


Математический факультет


Кафедра алгебры и геометрии


Допущена к защите


Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« » 2007 г.


О ω-насыщенных формациях с О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимым дефектом 1


Курсовая работа


Исполнитель:

Студент группы М-51 А.И. Рябченко


Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов


Гомель 2007

Оглавление


1. Введение

2. Основные понятия и обозначения

3. Используемые результаты

4. Основной результат

5 Заключение

Литература


1. Введение


Работа посвящена изучению решеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основным рабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта ω-насыщенной формации. При этом, под H-дефектом ω-насыщенной формации F понимают длину решетки ω-насыщенных формаций, заключенных между формацией FО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1H и F.

В случае, когда H – формация всех О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимых групп, H-дефект ω-насыщенной формации F называют ее О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимым lω-дефектом. Доказано, что О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимый lω-дефект частично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной ω-насыщенной не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимой подформации и некоторой ω-насыщенной О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимой подформации формации F. Приведен ряд следствий.

Полученные результаты являются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточного строения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный или разрешимый lω-дефекты. Работа может быть полезна при изучении и классификации ω-насыщенных формаций с заданной структурой ω-насыщенных подформаций.

Рассматриваются только конечные группы. Используется терминология из [1–3].

В работе [4] было введено понятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенных формаций с нильпотентным дефектом О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 12. При этом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенных формаций, заключенных между FО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1H и F.

В дальнейшем этот результат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкое применение в теоретических исследованиях. С одной стороны, в качестве H стали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба, 1991г., В.В.Аниськов, 1995-2003гг.). С другой стороны, исследовались решетки насыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996-2004г.). Кроме того, этот подход нашел широкое применение при изучении структурного строения формаций групп других типов (n-кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формации и др.).

В теории ω-насыщенных формаций данный метод был использован Дж. Джехадом [5] и Н.Г.Жевновой [6] при изучении p-насыщенных и ω-насыщенных формаций с нильпотентным lω-дефектом 1. Классификация неразрешимых ω-насыщенных формаций, имеющих разрешимую максимальную ω-насыщенную подформацию, получена в [7].

Естественным развитием исследований в этом направлении является изучение решеточного строения частично насыщенных формаций, близких к N по тем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-нильпотентной ω-насыщенной формации с О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-нильпотентной максимальной ω-насыщенной подформацией [8].

В данной работе получена классификация частично насыщенных формаций О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимого lω-дефекта 1.

Основным результатом является

Теорема 1. Пусть F – некоторая ω-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимый lω-дефект формации F равен 1, когда F=MVωH, где M – ω-насыщенная О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая подформация формации F, H – минимальная ω-насыщенная не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая подформация формации F, при этом: 1) всякая ω-насыщенная О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая подформация из F входит в MVω(HО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1X); 2) всякая ω-насыщенная не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая подформация F1 из F имеет вид HVω(F1О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1X).


2. Основные понятия и обозначения


Пусть ω – некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через ω ' обозначают дополнение к ω во множестве всех простых чисел.

Всякую функцию вида f: ωО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1{ω'}О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1{формации групп} называют ω-локальным спутником. Если f – произвольный ω-локальный спутник, то LFω(f)={ G | G/Gωd О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 f(ω') и G/Fp(G) О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 f(p) для всех pО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1ω О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(G)}, где Gωd – наибольшая нормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(H/K)О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1ω О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1Ш , Fp(G) – наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G .

Если формация F такова, что F=LFω(f) для некоторого ω-локального спутника f, то говорят, что F является ω-локальной формацией, а f ее ω-локальный спутник. Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним ω-локальным спутником.

Пусть X – произвольная совокупность групп и p – простое число. Тогда полагают, что X(Fp)=form(G/Fp(G) | GОX), если pО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(X), X(Fp)=Ш, если p О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(X).

Формация F называется ω-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /LО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1F, где LО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1Ф(G)∩Oω(G).

Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является ω-локальной тогда и только тогда, когда она является ω-насыщенной.

Через lω обозначают совокупность всех ω-насыщенных формаций.

Полагают lωformF равным пересечению всех тех ω-насыщенных формаций, которые содержат совокупность групп F.

Для любых двух ω-насыщенных формаций M и H полагают MО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1H=M∩H, а MVωH=lωform(MО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1H). Всякое множество ω-насыщенных формаций, замкнутое относительно операций О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 и Vω, является решеткой. Таковым, например, является множество lω всех ω-насыщенных формаций.

Через F/ωF∩H обозначают решетку ω-насыщенных формаций, заключенных между F∩H и F. Длину решетки F/ωF∩H обозначают |F:F∩H |ω и называют Hω-дефектом ω-насыщенной формации F.

ω-Насыщенная формация F называется минимальной ω-насыщенной не H-формацией, если FО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1H, но все собственные ω-насыщенные подформации из F содержатся в H.

Пусть О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 – некоторое непустое множество простых чисел. Группу G называют О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-специальной, если в ней существует нильпотентная нормальная О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-холлова подгруппа. Класс всех О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-специальных групп совпадает с классом NО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 GО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1'.

Группу G называют О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-замкнутой, если она имеет нормальную О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-холлову подгруппу. Класс всех О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-замкнутых групп, очевидно, совпадает с GО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1GО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1'.

Группа называется О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимой, если она одновременно О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-специальна и О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1'-замкнута.


3. Используемые результаты


Ниже приведем некоторые известные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.

Лемма 1 [1]. Пусть F=MH, где M и H – формации, причем M=LFp(m) для некоторого внутреннего спутника m. Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: либо pО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(M), либо формация H является p-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp(f), где f(p')=m(p')H и f(p)=m(p)H, если pО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(M), f(p)=h(p), если pО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(M).

Следствием теоремы 1.2.25 [3] является следующая

Лемма 2 [3]. Пусть X – полуформация и AО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1F=formX. Тогда если A – монолитическая группа и AО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1X, то в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (tО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 12), что выполняются условия: (1) H/NО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1A, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩ Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1∩…∩ MtО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 M.

Лемма 3 [2]. Пусть M и N – нормальные подгруппы группы G, причем MО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1CG(N). Тогда [N](G/M)О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1formG.

Лемма 4 [9]. Пусть F – произвольная ω-насыщенная не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая формация. Тогда в F имеется, по крайней мере, одна минимальная ω-насыщенная не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая подформация.

Следствием леммы5.2.8 [3, c. 194] является

Лемма 5. Пусть F, M, X и H – ω-насыщенные формации, причем F=MVωX. Тогда если m, r и t соответственно Hω-дефекты формаций M, X и F и m, r<О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1, то tО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 m+r.

Лемма 6 [1]. Решетка всех ω-насыщенных формаций lω модулярна.

Лемма 7 [1]. Если F=lωformX и f – минимальный ω-локальный спутник формации F, то справедливы следующие утверждения: 1) f(ω ') = form(G/Gωd | GО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1X); 2) f(p)=form(X(Fp)) для все pО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1ω; 3) если F=LFω(h) и p – некоторый фиксированный элемент из ω, то F=LFω(f1), где f1(a)=h(a) для всех aО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(ω{p})О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1{ω’}, f1(p)=form(G | GО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1h(p)∩ F, Op(G)=1) и, кроме того, f1(p)=f(p); 4) F=LFω(G), где g(ω')=F и g(p)=f(p) для всех pО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1ω.

Лемма 8 [1]. Пусть fi – такой внутренний ω-локальный спутник формации Fi, что fi(ω')=Fi, где iО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1I. Тогда F=F1VωF2=LFω(f), где f=f1V f2.

Лемма 9 [10]. Тогда и только тогда F – минимальная ω-насыщенная не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая формация, когда F=lωformG, где G – такая не О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимая монолитическая группа с монолитом P, что О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1 (G)∩О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1=Ш и либо О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1=О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1(P)∩ω=Ш и P совпадает с О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1-разложимым корадикалом группы G, либо О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1Ш и выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1', то G/P – О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1'-группа, если О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1={p}О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1, то G/P – p-группа, если же О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1∩ωО w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1Ш и |О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1|>1, то G=P – простая неабелева группа; 2) G – группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG(P) – минимальная нормальная подгруппа группы G,

Похожие рефераты: