О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

Лемма 10 [2, с. 41]. Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M – некоторая полуформация и AformM. Тогда A M.

Лемма 11 [1]. Если формации M и H являются ω-насыщенными, то формация F=MH также является ω-насыщенной.

Лемма 12 [1]. Пусть F – ω-насыщенная формация и f – ее ω-локальный спутник. Если G/Op(G)f(p)∩F, то GF.

Следующая лемма является частным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].

Лемма 13. Пусть M, F и H – ω-насыщенная формации и MF. Тогда |M:M∩H|ω|F:F∩H |ω.

Лемма 14 [3]. Пусть F – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы GX F-корадикал GF не имеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A – монолитическая группа из form XF, то AH(X).

4. Основной результат

В дальнейшем через X будем обозначать формацию всех -разложимых групп, а X-дефект ω-насыщенной формации F называть ее -разложимым lω-дефектом. Заметим, что класс всех -разложимых групп совпадает с классом G’G ∩NG'.

Лемма 15. Пусть H – некоторая формация. Тогда формация NωH является ω-насыщенной.

Доказательство. Пусть F=NωH. Как известно, формация Nω является насыщенной и, следовательно, ω-насыщенной для всякого непустого множества простых чисел ω. В силу леммы 7 формация Nω имеет такой внутренний ω-локальный спутник n, что n(p)=1 для любого pω и n(ω')=Nω.

Так как для любого pОω справедливо включение, то применяя лемму 1 заметим, что F – p-локальная формация. Следовательно формация F является ω-локальной или ω-насыщенной. Лемма доказана.

Лемма 16. Пусть A – простая группа, M и X – некоторые непустые формации. Тогда если AMVX, то AMX.

Доказательство. Предположим, что AMX=F. Тогда в силу леммы 2 в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩ Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1∩…∩ Mt M.

Ввиду леммы 3 имеем [Mi/Ni]((H/Ni)/)form(H/Ni).

Пусть A – группа простого порядка. Тогда ввиду (1) M/N=H/N – абелев фактор.

Поэтому CH(M/N)=H. В силу условия (3) CH(Mi/Ni)=CH(M/N)=H. Поскольку =CH(Mi/Ni)/Ni, то (H/Ni)/

H/CH(Mi/Ni)=H/H=1. Значит, Mi/Niform(H/Ni). Но ввиду (3) H/NiF=MX. Поскольку M и X – формации, то AMi/NiMX.

Пусть теперь A – простая неабелева группа. Тогда в силу леммы 10 получаем AMX. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть -разложимый lω-дефект формации F равен 1. Так как F не является -разложимой формацией, то по лемме 4 в F входит некоторая минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация H1. По условию M=X∩F – максимальная ω-насыщенная подформация в F. Значит, F=MVωH1.

Достаточность. Пусть F=MVωH1, где M – ω-насыщенная -разложимая подформация формации F, H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация F. Понятно, что FX. Пусть -разложимые lω-дефекты формаций F, M и H1 равны соответственно t, m и r. Поскольку M – ω-насыщенная -разложимая формация, то m=0. Так как H1 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая формация, то ее -разложимый lω-дефект r равен 1. В силу леммы 5 для -разложимого lω-дефекта формации F имеет место неравенство tm+r = 0+1 = 1.

Если t = 0, то F – -разложимая формация, что противоречит условию FX. Таким образом, |F:F∩X |ω=1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы.

Так как X∩H1 – максимальная ω-насыщенная подформация в H1, то, в силу леммы 6, имеет место решеточный изоморфизм

(((X∩H1)VωM)VωH1)/ω((X∩H1)VωM)H1/ωH1∩((X∩H1)VωM) =

= H1/ω(X∩H1)Vω(H1∩M) = H1/ωX∩H1.

Следовательно, (X∩H1)VωM – максимальная ω-насыщенная подформация в F.

Тогда, поскольку FX, то всякая ω-насыщенная -разложимая подформация из F входит в (X∩H1)VωM.

Для доказательства утверждения 2) покажем прежде, что в F нет минимальных ω-насыщенных не -разложимых подформаций, отличных от H1. Пусть M1=F∩X. Тогда M1 – -разложимая максимальная ω-насыщенная подформация формации F. Предположим обратное, т.е. что в F существует H2 – минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация, отличная от H1. Поскольку M1 является -разложимой формацией, то H2M1. Значит, F=H2VωM1=H1VωM1.

Из леммы 9 следует, что Hi=lωformGi, где Gi – такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом Pi, что (Gi)∩=Ш и либо =(Pi)∩ω=Ш и Pi совпадает с -разложимым корадикалом группы Gi, либо Ш и выполняется одно из следующих условий: (1) группа Pi неабелева, причем, если ', то Gi/Pi – '-группа, если ={pi}, то Gi/Pi – p-группа, если же ∩ωШ и ||>1, то Gi=Pi – простая неабелева группа; (2) Gi – группа Шмидта; (3) Gi=[Pi]Hi, где Pi=(Pi) – минимальная нормальная подгруппа группы Gi; Hi – простая неабелева группа, причем ∩(Hi)=Ш.

По лемме 7 формации Hi и M1 имеют такие внутренние ω-локальные спутники hi и m соответственно, что hi(a)=form(Gi/Fa(Gi) | GiHi), если aω∩(Gi), hi(a)=Hi, если a=ω', hi(a)=Ш, если aω(Gi), где i=1,2 и m(a)=form(A/Fa(A) | A M1), если aω∩(M1), m(a)=M1, если a=ω', m(a)=Ш, если aω(M1).

Тогда по лемме 8 получаем, что формация F имеет такой ω-локальный спутник f, что f(p)=hi(p)V m(p) для всех p ω и f(ω')=HiVM1=form(H1M1)F.

Пусть G2 удовлетворяет условию (1), т.е. P2 – неабелева ωd-группа. Обозначим через R формацию, равную form(H1M1). Поскольку, по лемме 15, NωR – ω-насыщенная формация и H1M1RNωR, то F=lωform(H1M1) NωR. Но G2F. Следовательно G2NωR. Значит, R-корадикал группы G2 содержится в Nω.

Пусть G2R 1. Так как R-корадикал – нормальная в G2 подгруппа и P2 – единственная минимальная нормальная подгруппа в G2, верно включение P2GR. Тогда получаем, что P2 – неабелева минимальная нормальная подгруппа в G2, содержится в нильпотентной подгруппе G2R группы G2. Противоречие.

Следовательно, G2R=1. Поэтому G2R=form(H1M1). Применяя теперь лемму 10, имеем G2H1