Xreferat.com » Рефераты по математике » Дифференциальные уравнения I и II порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Введение.

Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела.

При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы. Для того, чтобы последняя была успешной и современной, необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей. Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса.

Пусть N – общее число потенциальных покупателей нового товара, x(t) – число покупателей, знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара, [N-x(t)] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре.

Предположим, что информация о товаре распространяется среди покупателей посредством их общения между собой. Будем считать, что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей, и вероятность этой встречи считаем равной P. Вероятность того, что при встрече покупатель, знающий о товаре, встретиться с покупателем, еще не имеющем информации о товаре, равна (N-x)/N. Тогда скорость изменения величины x(t) в момент t равняется px(N-x)/N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре. Таким образом, получаем уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка или Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Данное уравнение содержит величину x и ее производную Дифференциальные уравнения I и II порядка, т.е. является дифференциальным. Решая полученное уравнение, найдем вид зависимости величины x от t:

Дифференциальные уравнения I и II порядка, где параметр A подбирается, исходя из условия x=x0 в некоторый момент t=t0. Например, если при t=0 величина x(0)=g N (g - доля покупателей, обладающих информацией о товаре к началу рассматриваемого процесса), то Дифференциальные уравнения I и II порядка. На рис. 1 показан график искомой функции x=x(t). В экономической литературе график известен как логистическая кривая.

Отметим, что логистическая кривая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств, эпидемий и даже слухов.

В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых, обладающих некоторым общим свойством.

Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф(X,Y,C)=0, где C – параметр. Составим дифференциальное уравнение, которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства. Предположим, что отдельная кривая семейства заданных функций y=f(x,c). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Предполагая дифференцируемость функции Ф(X,Y,C) и дифференцируя Ф(x,f(x,c),c) по x, получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф(x,y,c)=0, т.е. рассматривая систему

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

и исключая в ней параметр C, в результате получим дифференциальной уравнение

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

описывающее свойство присущее всем кривым семейства.

Например, пусть семейство кривых представляет семейство гипербол xy=c.

Дифференцируя данное уравнение по x, получаем Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c, то последнее уравнение, являясь дифференциальным, представляет семейство вышеуказанных гипербол.

1. Основные понятия и определения.

Определение. Уравнение, связывающее функцию y, ее аргумент x и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде

Дифференциальные уравнения I и II порядка или Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

А) Дифференциальные уравнения I и II порядкаявляется дифференциальным уравнением 1-го порядка;

Б) Дифференциальные уравнения I и II порядкаявляется дифференциальным уравнением 2-го порядка;

В) Дифференциальные уравнения I и II порядкаявляется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=f(x), которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество.

Например, пусть дано дифференциальной уравнение Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Тогда любая функция вида y=c1sinx+c2cosx, где c1, c2 – произвольные постоянные, является решением этого уравнения.

Действительно, дифференцируя уравнение y=c1sinx+c2cosx дважды по x получаем Дифференциальные уравнения I и II порядка. Подставляя выражения для Дифференциальные уравнения I и II порядка и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения.

Как правило, дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример), задаваемых семейством функций y=f(x,c) в явном виде или Ф(x,y,c)=0 в неявном виде. В этих уравнениях с-параметр семейства. Таких параметров, вообще говоря, может быть несколько.

В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка

Дифференциальные уравнения I и II порядка отвечает семейство решений, содержащих n параметров.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция y=f(x, c1, c2, …, cn), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c1, c2, …, cn, которая будучи подставлена в уравнение обращает его в тождество.

Отметим, что эта функция может задаваться и неявным образом, тогда она представляется уравнением Ф(x , y,c1, c2, …, cn)=0.

Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом.

Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения, необходимо задать значения для параметров c1, c2 , …, cn. Обычно значения этих произвольных постоянных c1, c2 , …, cn определяются заданием начальных условий: y(x0)=y0, Дифференциальные уравнения I и II порядка. Эти начальные условия дают соответственно n уравнений

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

………………………………

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

решая которые относительно c1, c2 , …, cn находят значения этих постоянных.

Например, для дифференциального уравнения 1-го порядка Дифференциальные уравнения I и II порядкаобщее решение имеет вид y=f(x,c). Тогда начальное условие y(x0)=y0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую, проходящую через точку M(x0,y0).

Геометрическая интерпретация.

Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на примере уравнения 1-го порядка вида Дифференциальные уравнения I и II порядка.

В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y. Каждой точке M(x,y) плоскости поставим в соответствие вектор Дифференциальные уравнения I и II порядка, отложенный от точки M.

Таким образом дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения I и II порядка порождает в плоскости XOY поле направлений (естественно, указанное поле существует только в области определения функции f(x,y)). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая, которая в каждой точке касается вектора поля направляющей.

Действительно, пусть y=h(x) уравнение указанной выше кривой. Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направлениеДифференциальные уравнения I и II порядка, где a - угол наклона касательной к оси x. Из Дифференциальные уравнения I и II порядка (условие касания кривой с вектором Дифференциальные уравнения I и II порядка) и равенства абсцисс векторов Дифференциальные уравнения I и II порядка и Дифференциальные уравнения I и II порядкавытекает тождество Дифференциальные уравнения I и II порядка, выполняющееся в точках кривой y=h(x). Последнее означает, что y=h(x) является решением уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка.

И обратно, если y=h(x) решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка, то Дифференциальные уравнения I и II порядка. Последнее соотношение означает, в каждой точке кривой y=h(x) направление ее касательной Дифференциальные уравнения I и II порядка совпадает с вектором Дифференциальные уравнения I и II порядка поля направлений, т.е. в каждой точке кривая y=h(x) касается вектораДифференциальные уравнения I и II порядка поля направлений.

В качестве иллюстрации возьмем уравнение Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Для построения поля направлений удобно использовать метод изоклин. Изоклина это линия в каждой точке которой вектор Дифференциальные уравнения I и II порядка поля направлений одинаков. Таким образом, изоклины даются уравнением f(x,y)=l , и каждой точке изоклины соответствует вектор Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением Дифференциальные уравнения I и II порядка или y=-l x.

Как видно, изоклинами являются прямые, проходящие через точку начала координат. На рис. 2 изображены изоклины отвечающие значениям Дифференциальные уравнения I и II порядка, черточками изображены направления векторов Дифференциальные уравнения I и II порядка в таких изоклин. Из рис. 2 видно, что интегральные кривые уравнения напоминают гиперболы. Действительно, как будет показано ниже, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx=c, т.е. задает семейство гипербол. Параметрам c>0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов, значениям c<0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов.

2. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка.

Задано дифференциальное уравнение вида

Дифференциальные уравнения I и II порядкаили, иначе, Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Пусть y=y(x) – решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Тогда из Дифференциальные уравнения I и II порядка следует, что f(x,y(x)) – производная функции y(x) и, следовательно, y(x) – первообразная для f(x,y(x)). Если F(x) – некоторая другая первообразная для f(x,y(x)), то , как известно, y(x)=F(x)+c0. Из y(x0)=y0, y(x0)=F(x0)+c0 получаем c0=y0-F(x0), т.е. y(x)=F(x)-F(x0)+y0.

Семейство всех первообразных для f(x,y(x)) представляется неопределенным интегралом Дифференциальные уравнения I и II порядка. Тогда разность F(x)-F(x0) равна значению определенного интеграла Дифференциальные уравнения I и II порядка,

И, следовательно, получаем

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

т.е. y(x) является решением интегрального уравнения

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Задача поиска решения дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка, удовлетворяющего начальному условию y(x0)=y0, получила в литературе название задачи Коши.

Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка было получено в 1820-1830 г.г. и связано с именем Коши (1789-1857).

Теорема. Пусть задано уравнение Дифференциальные уравнения I и II порядка и начальные значения x0,y0.

Тогда если

А) функция f(x,y) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области Дифференциальные уравнения I и II порядка;

Б) функция f(x,y) удовлетворяет в областиR по переменной y условию Липшица, т.е. Дифференциальные уравнения I и II порядка, где L – постоянная;

То существует единственное решение y=y(x) указанного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале Дифференциальные уравнения I и II порядка, где Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941), использующего ранее приведенное интегральное уравнение.

Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится по правилу:

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

Дифференциальные уравнения I и II порядка,

………………………………

Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Далее можно показать, что функция Дифференциальные уравнения I и II порядка дает единственное решение дифференциального уравнения Дифференциальные уравнения I и II порядка в промежутке Дифференциальные уравнения I и II порядка.

Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y/.

Более общим видом является случай уравнения вида

Похожие рефераты: