Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Министерство образования Российской Федерации

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

РЕФЕРАТ

на тему:

“МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”

Выполнил: студент гр. МХТ-02

Казаков Василий Васильевич

Проверила:

Абрамова Ирина Михайловна

Магнитогорск 2003

Содержание

1. Гармонические колебания

2. Затухающие колебания

3. Вынужденные колебания без учета сопротивления среды

4. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды

Колебаниями называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

П

О

усть  означает удлинение пружины в данный момент, а _ст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда =_ст+х, или -_ст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma, где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению: F_упр=-с, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= с_ст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим -_ст через х, получится уравнение в виде:

или, обозначив с/m через k²,

(1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:

Если положить

то

(2)

График гармонических колебаний имеет вид:

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргу­мент — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e. величина , называется начальной фазой колебания. Величина есть частота колебания. Период коле­бания и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/_ст = mg/_ст, то для периода можно получить также формулу:

Скорость движения груза получается дифференцирова­нием решения по t:

Для определения амплитуды и начальной фазы необхо­димо задать начальные условия. Пусть, например, в началь­ный момент t = 0 положение груза x=x₀ и скорость =₀. Тогда , откуда

,

Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от частоты и периода собственных коле­баний они зависят от начального состояния системы. При отсутствии начальной скорости (₀=0) амплитуда А=х₀, а начальная фаза =/2 и, таким образом,

или

Затухающие колебания.

Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.

Решение

К силам, действующим на груз, прибав­ляется здесь сила сопротивления воздуха (знак минус показывает, что сила R направлена противопо­ложно скорости ). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox имеет вид

или если положить , , то

(3)

Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициен­тами. Его характеристическое уравнение:

имеет корни

(4)

Характер движения целиком определяется этими кор­нями. Возможны три различных случая. Рассмотрим сна­чала случай, когда . Это неравенство имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если поло­жить , то корни (4) имеют вид . Тогда общее решение можно записать в виде

или, преобразовав, умножая и деля на , получим:

положим, что

,

тогда

(5)

График зависимости отклонения от положения равновесия от времени имеет вид:

Если заданы начальные условия: при t = 0, то можно определить А и . Для этого находим

и подставляем t = 0 в выражения для и получим систему уравнений

Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части первого получим

откуда

или а

Так как

то

Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания зави­сит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем при .

Период затухающих колебаний определяется по формуле

Моменты времени, в которые груз получает максималь­ное отклонение от начала координат (положения равнове­сия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих коле­баний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным или . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.

Частота колебаний в этом случае меньше, нежели в предыдущем (), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

Если сопротивление среды велико и , то, положив , получим корни (4) в виде Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

(6)

Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае , когда общее решение имеет вид

(7)

Легко заметить, что в обоих последних случаях при имеем .

Если заданы начальные условия и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно и , получим

,

и, следовательно

В случае же, когда , получаем , и следовательно,

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.

Пусть груз весом Р под­вешен на вертикальной пружине, длина которой в нена­груженном состоянии равна . На груз действует перио­дическая возмущающая сила где Q и р — постоян­ные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

Полагая, как и прежде, и, кроме того, пере­пишем уравнение в виде

(8)

Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным урав­нением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому ; остается найти х. Если пред­положить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и N — коэф­фициенты, подлежащие определению. Итак,

Производя вычисления, получаем

откуда М=0 и Полученное таким образом частное решение

(9)

определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой . Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на , если k<p, т. е. если N<0.

Закон движения представляется общим решением

. (10)

Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза.

Если заданы начальные условия: и , то можно определить произвольные постоянные А и . Для этого продифференцируем функцию (10):

и подставим в выражения х и значение аргумента t = 0; получим систему уравнений относительно A и :

Преобразуем её так:

возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда

Для нахождения  разделим обе части первого урав­нения на соответствую-щие части второго; получим

откуда

при этом ,

Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция

или

Частное решение (9), характеризующее собственно вы­нужденные колебания, было получено в предположении, что , т. е. что частота внешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний. Если же , то дело будет обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде

(11)

Частное решение следует искать в форме

,

где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

откуда получаем , , и следовательно, частное решение имеет вид

Общее решение в этом случае