Xreferat.com » Рефераты по математике » Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Высшая математика

Контрольная работа №1

Вариант 3


Задание №1


Дана система линейных алгебраических уравнений:


Системы линейных алгебраических уравнений


Требуется:

Записать матрицу коэффициентов (А) и свободных членов (Системы линейных алгебраических уравнений);

Решить систему методом Гаусса и (в случае её невырожденности) Крамера.

Решение.

Запишем матрицу коэффициентов:


Системы линейных алгебраических уравнений


Матрица свободных членов:


Системы линейных алгебраических уравнений


Решим систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса (приведём к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк):


Системы линейных алгебраических уравнений

Шаг 1: из строки 2 вычитаем строку 1, умноженную на 2; из строки 3 вычитаем строку 1;

Шаг 2: из строки 3 вычитаем строку 2;

Получили вырожденную систему уравнений, так как если записать уравнение по последней строке преобразованной матрицы, получим 0 = -1, что неверно. Значит, заданная система не имеет решений.

Ответ: решения системы не существует.


Задание №2


Решить матричное уравнение:


АXBт + m AB = С

Системы линейных алгебраических уравнений, Системы линейных алгебраических уравненийи Системы линейных алгебраических уравнений, m=2.


Решение.

Для того, чтобы решить заданное матричное уравнение, перенесём все известные слагаемые в правую часть, а неизвестные оставим в левой:

Системы линейных алгебраических уравнений

Затем обе части уравнения домножим справа на матрицу, обратную к транспонированной матрице В, и домножим слева на матрицу, обратную к матрице А, получим:


Системы линейных алгебраических уравнений

где Е – единичная матрица.

Для того, чтобы найти Х, найдём все необходимые матрицы, затем перемножим их.


Системы линейных алгебраических уравнений (*)


Запишем транспонированную матрицу Bт, для чего на место столбцов запишем соответствующие строки:


Системы линейных алгебраических уравнений


Вычислим произведение матриц А и В, затем умножим полученную матрицу на m=2:


Системы линейных алгебраических уравнений


Вычтем полученную матрицу из матрицы С:


Системы линейных алгебраических уравнений


Теперь найдём матрицы Системы линейных алгебраических уравнений.


Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений


Подставляем все найденные матрицы в уравнение (*)


Системы линейных алгебраических уравнений


Ответ: Системы линейных алгебраических уравнений.


Задание №3


Даны векторы:Системы линейных алгебраических уравнений


Системы линейных алгебраических уравнений, Системы линейных алгебраических уравненийи Системы линейных алгебраических уравнений.


Требуется:

– найти длину вектора Системы линейных алгебраических уравнений;

- вычислить скалярное произведение Системы линейных алгебраических уравненийСистемы линейных алгебраических уравнений;

– найти координаты вектора Системы линейных алгебраических уравнений;

– установить, является ли система векторов Системы линейных алгебраических уравнений,Системы линейных алгебраических уравнений,Системы линейных алгебраических уравнений линейно зависимой.

Решение.

Длина (модуль) вектора Системы линейных алгебраических уравнений находится по формуле:


Системы линейных алгебраических уравнений


Значит, длина вектора Системы линейных алгебраических уравненийравна:


Системы линейных алгебраических уравнений


Скалярное произведение векторов Системы линейных алгебраических уравнений и Системы линейных алгебраических уравнений ищется следующим образом:


Системы линейных алгебраических уравнений


Подставляем координаты векторов Системы линейных алгебраических уравнений и Системы линейных алгебраических уравнений.


Системы линейных алгебраических уравнений


Сложение и вычитание векторов заключается в поэлементном соответственно сложении или вычитании их координат. Чтобы умножить вектор на число, необходимо умножить каждую координату вектора на это число. Поэтому:


Системы линейных алгебраических уравнений


Для того, чтобы определить, является ли система из трёх векторов, линейно независимой, достаточно вычислить определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов. Если определитель окажется равным 0, значит, система векторов линейно зависима; если определитель будет отличен от 0 – система векторов линейно независима. Координаты векторов будут строками определителя. Вычислим определитель, разложив его по первому столбцу.


Системы линейных алгебраических уравнений


Так как определитель не равен 0, значит, система векторов линейно независима.

Ответ: 1) Системы линейных алгебраических уравнений; 2) Системы линейных алгебраических уравнений; 3) Системы линейных алгебраических уравнений; 4) система векторов линейно независима.


Задание №4


Даны координаты точек: Системы линейных алгебраических уравнений

Требуется:

найти общее уравнение прямой Системы линейных алгебраических уравнений, проходящей через точки А1 и А2;

найти уравнение прямой Системы линейных алгебраических уравнений, проходящей через точку Системы линейных алгебраических уравнений параллельно прямой Системы линейных алгебраических уравнений;

найти расстояние между прямыми Системы линейных алгебраических уравненийи Системы линейных алгебраических уравнений;

написать уравнение прямой, проходящей через точку Системы линейных алгебраических уравнений перпендикулярно прямой Системы линейных алгебраических уравнений и найти координаты точки пересечения этих прямых;

построить схематический чертеж.

Решение.

Сначала запишем уравнение прямой, проходящей через две точки М1(x1,y1) и М2(x2,y2):


Системы линейных алгебраических уравнений


Подставляем координаты точек А1 и А2 и получаем:


Системы линейных алгебраических уравнений


Преобразуем полученное уравнение и получим общее уравнение прямой Системы линейных алгебраических уравнений:


Системы линейных алгебраических уравнений


Запишем уравнение прямой Системы линейных алгебраических уравнений в виде Системы линейных алгебраических уравнений:


Системы линейных алгебраических уравнений


Если прямые параллельны, то они имеют одинаковый коэффициент k. Значит прямая Системы линейных алгебраических уравнений имеет вид Системы линейных алгебраических уравнений. Так как она проходит через точку Системы линейных алгебраических уравнений, значит можем подставить координаты этой точки и найти b:


Системы линейных алгебраических уравнений

Уравнение прямой Системы линейных алгебраических уравнений: Системы линейных алгебраических уравнений или Системы линейных алгебраических уравнений

Если две параллельные прямые заданы общими уравнениями Системы линейных алгебраических уравнений и Системы линейных алгебраических уравнений, то расстояние между ними можно вычислить по формуле:


Системы линейных алгебраических уравнений


Подставляя коэффициенты из уравнений прямых Системы линейных алгебраических уравнений и Системы линейных алгебраических уравнений, получаем:


Системы линейных алгебраических уравнений


Уравнение прямой, проходящей через точку М1(x1,y1) и перпендикулярной к прямой Системы линейных алгебраических уравнений, представляется уравнением:


Системы линейных алгебраических уравнений


Подставим координаты точки Системы линейных алгебраических уравнений и коэффициенты уравнения прямойСистемы линейных алгебраических уравнений:


Системы линейных алгебраических уравнений


Координаты точки пересечения прямых Системы линейных алгебраических уравнений и Системы линейных алгебраических уравнений найдём, решив систему уравнений:

Системы линейных алгебраических уравнений


Координаты точки пересечения прямых D(0,5; 5,5).

На рисунке изобразим все необходимые прямые и точки:


Системы линейных алгебраических уравнений


Ответ: 1) Системы линейных алгебраических уравнений; 2) Системы линейных алгебраических уравнений; 3) Системы линейных алгебраических уравнений; 4) Системы линейных алгебраических уравнений; D(0,5; 5,5)..

Задание №5


Построить на плоскости область решений и определить координаты угловых точек области решений системы неравенств:


Системы линейных алгебраических уравнений


Решение.

Построим прямые:


Системы линейных алгебраических уравнений


На рисунке изображены прямые и выделена интересующая нас область решений S.


Системы линейных алгебраических уравнений

Угловыми точками этой области являются точки А, В, С и D. Найдём их координаты, как координаты точек пересечения соответствующих двух прямых:


Системы линейных алгебраических уравнений


Итак, координаты угловых точек области решений неравенств:


Системы линейных алгебраических уравнений


Ответ: Системы линейных алгебраических уравнений.


Задание №6


Не применяя правило Лопиталя, вычислить следующие пределы


1. Системы линейных алгебраических уравнений, если: а) Системы линейных алгебраических уравнений, б) Системы линейных алгебраических уравнений, в) Системы линейных алгебраических уравнений.

2. Системы линейных алгебраических уравнений

Решение.

а) Системы линейных алгебраических уравнений


б) Системы линейных алгебраических уравнений

в) Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений


Введём замену Системы линейных алгебраических уравнений, тогда Системы линейных алгебраических уравнений. Затем домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю:


Системы линейных алгебраических уравнений


Ответ: 1) а) 2; б) 0; в) 6; 2) 2.


Задание №7


Задана функция спроса от цены товара Системы линейных алгебраических уравнений. Найти эластичность спроса по цене Системы линейных алгебраических уравнений при цене Системы линейных алгебраических уравнений, и дать экономическую интерпретацию.


Системы линейных алгебраических уравнений


Решение.

Эластичность функции y относительно переменной х вычисляется по формуле

Системы линейных алгебраических уравнений


Вычислим производную функции q по p и подставим наши значения в формулу:


Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений


Подставим значение Системы линейных алгебраических уравнений, тогда получим:


Системы линейных алгебраических уравнений


Полученное значение эластичности спроса по цене показывает, что если цена увеличится на 1%, то спрос снизится на Системы линейных алгебраических уравнений%.

Ответ: Системы линейных алгебраических уравнений.


Задание №8


Исследовать функцию и построить ее график:


Системы линейных алгебраических уравнений


Решение.

Область определения функции Системы линейных алгебраических уравнений

Функция не является периодической.

Функция является нечётной, так как


Системы линейных алгебраических уравнений


Так как функция нечётна, значит точка пересечения с осью Оу – это начало координат, т.е. точка (0; 0).

Точки пересечения с осью Ох: Системы линейных алгебраических уравнений,т.е. только точка (0; 0).

y(x) непрерывна на всей области определения D(x), значит точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.


Системы линейных алгебраических уравнений


Так как пределы бесконечны, значит, горизонтальных асимптот нет.

Найдём наклонные асимптоты вида Системы линейных алгебраических уравнений, если они есть:


Системы линейных алгебраических уравнений

Прямая Системы линейных алгебраических уравнений будет наклонной асимптотой.

Найдём экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого найдём точки, в которых первая производная обращается в 0:


Системы линейных алгебраических уравнений


Т.е. критической является точка Системы линейных алгебраических уравнений.

Но в точке x=0, производная не меняет знак, поэтому эта точка не является точкой экстремума.

На всей области определения функции y(x) производная Системы линейных алгебраических уравнений, следовательно, функция возрастает.

Найдём интервалы выпуклости и вогнутости кривой, а также точки её перегиба. Для этого найдём точки, в которой вторая производная меняет знак.


Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений


Значит, функция имеет три точки перегиба: Системы линейных алгебраических уравнений.

На каждом из промежутков Системы линейных алгебраических уравнений и Системы линейных алгебраических уравнений вторая производная Системы линейных алгебраических уравнений, следовательно, функция вогнута. На каждом из промежутков Системы линейных алгебраических уравнений и Системы линейных алгебраических уравнений вторая производная Системы линейных алгебраических уравнений, следовательно, функция выпукла.


Системы линейных алгебраических уравнений


Построим график функции


Системы линейных алгебраических уравнений


Задание №9


Найти градиент функции в указанной точке:


Системы линейных алгебраических уравнений, М (1,1);

Решение.

Градиент функции в точке Системы линейных алгебраических уравнений находится по формуле:


Системы линейных алгебраических уравненийСистемы линейных алгебраических уравнений


Вычислим частные производные заданной функции Z и их значения в точке Системы линейных
										<div class=

Похожие рефераты: