Xreferat.com » Рефераты по математике » Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа

Элементы математической теории скалярных и векторных полей

Математическая теория поля занимается изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физического смысла. Поэтому получаемое в этой теории понятие и закономерности относятся ко всем конкретным полям.

Определение 1

Полем называется совокупность значений той или иной величины (скорость, плотность, давление и т.п.), заданных в каждой точке рассматриваемой области.

Если рассматриваемая величина

а) скаляр, то поле называется скалярным, например

Теория поля и элементы векторного анализа – поле плотности

б) вектор, то поле называется векторным

Теория поля и элементы векторного анализа – поле скоростей

в) тензор, то поле называется тензорным

Теория поля и элементы векторного анализа – поле напряжений.

Определение 2

Если значения рассматриваемых величин не изменяются во времени, то поле называется стационарным (установившимся), если же они Теория поля и элементы векторного анализа изменяются во времени, то поле называется нестационарным.

Здесь мы остановимся на рассмотрении свойств стационарных полей.

Скалярное поле Теория поля и элементы векторного анализа

Характеристики скалярного поля

Скалярное поле характеризуется поверхностью уровня Теория поля и элементы векторного анализа(см. рис.)

Градиент поля определяется как вектор, составленный из частных производных

Теория поля и элементы векторного анализа (1)


Он направлен по нормали к поверхностям уровня и характеризует величину и направление наибыстрейшего изменения величины поля. Полный дифференциал скалярного поля Теория поля и элементы векторного анализа можно представить в виде:


Теория поля и элементы векторного анализа, (2)


где Теория поля и элементы векторного анализа.

Производная по направлению Теория поля и элементы векторного анализа (см. рис. 2) определяется как проекция градиента на данное направление


Теория поля и элементы векторного анализа (3)


Частный случай: производная по нормали:


Теория поля и элементы векторного анализа (4)


Частные и полные производные по времени


Рассмотрим нестационарное скалярное поле:

Теория поля и элементы векторного анализа

Скорость изменения r в фиксированной точке Теория поля и элементы векторного анализа равна Теория поля и элементы векторного анализа и называется частной производной (локальной производной). Пусть задана некоторая траектория в пространстве, где определено скалярное поле (рис. 3)

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа

Скорость изменения r вдоль траектории определяется как полная производная по t от сложной функции и равна:


Теория поля и элементы векторного анализа (5)


Теория поля и элементы векторного анализа – конвективная производная, она связана с перемещением точки (частицы) из одной точки пространства в другую.

Замечание:

ОператорС «набла» – это греческое слово, означающее «арфа» – музыкальный инструмент, по форме напоминающий перевернутый треугольник.

Характеристики векторного поля Теория поля и элементы векторного анализа

Векторная линия – кривая, направление которой в каждой ее точке совпадает с направлением вектора Теория поля и элементы векторного анализа, отвечающего этой точке (см. рис. 4) Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа и Теория поля и элементы векторного анализа

– коллинеарные (параллельные) векторы и, следовательно,

Теория поля и элементы векторного анализа | | = Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа = lТеория поля и элементы векторного анализаЮ Теория поля и элементы векторного анализа= l


Теория поля и элементы векторного анализа (6)


Производная от вектора по направлению определяется следующим образом:

Теория поля и элементы векторного анализа (7)


Теория поля и элементы векторного анализа– направляющие косинусы вектора Теория поля и элементы векторного анализа, в декартовой системе координат.

Доказательство:

Учтем, что


Теория поля и элементы векторного анализа


и так далее, подставим в Теория поля и элементы векторного анализа, получим:


Теория поля и элементы векторного анализа

+Теория поля и элементы векторного анализа

+Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа


Итак, мы доказали


Теория поля и элементы векторного анализа.


Частная и полная производные по времени от вектора


Теория поля и элементы векторного анализа (9)


Доказательство:


Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа


Поток вектора через поверхность. Дивергенция

Теория поля и элементы векторного анализа– поток векторной величины через элементарную площадку (элементарный поток)


Теория поля и элементы векторного анализа (11)


векторный поток через незамкнутую площадку;


Теория поля и элементы векторного анализа (12)


поток вектора через замкнутую площадку.


Теория поля и элементы векторного анализа


поток вектора скорости через поверхность S равен объему жидкости, протекающей через эту площадку поверхности за единицу времени.

По теореме Остроградского-Гаусса (рис. 7)

Теория поля и элементы векторного анализа (13)


Сжимая объем Теория поля и элементы векторного анализа и, следовательно Теория поля и элементы векторного анализа получим, используя теорему осреднения


Теория поля и элементы векторного анализа (14)


Следовательно, Теория поля и элементы векторного анализа можно определить как предел


Теория поля и элементы векторного анализа (15)


Пример:

В гидродинамике поле скоростей Теория поля и элементы векторного анализа имеет


Теория поля и элементы векторного анализа


дивергенция равна количеству жидкости, рассчитанному на единицу объема, вытекающему из данной точки пространства за одну секунду, т.е. Теория поля и элементы векторного анализа равна мощности источника жидкости (если Теория поля и элементы векторного анализа> 0).

Если Теория поля и элементы векторного анализа < 0, то в этих точках пространства расположен сток жидкости, с мощностью Теория поля и элементы векторного анализа.

5. Циркуляция вектора вдоль линии

Роток векторного поля

Элементарная циркуляция вектора Теория поля и элементы векторного анализа вдоль линии dl равна (рис. 8а)


Теория поля и элементы векторного анализа (16)

Циркуляция вектора Теория поля и элементы векторного анализавдоль замкнутой линии L (рис. 8б)


Теория поля и элементы векторного анализа (17)


Пусть контур L ограничивает некоторую поверхность S (рис. 8в). Используем теорему Стокса и преобразуем интеграл по кривой L в интеграл по поверхности S:


Теория поля и элементы векторного анализа (18)


Роток (вихрь) вектора Теория поля и элементы векторного анализаопределяется как


Теория поля и элементы векторного анализа (19)


Определение

Циркуляция вектора Теория поля и элементы векторного анализа вдоль замкнутого контура равна потоку его ротора через поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 9)


Теория поля и элементы векторного анализа (20)


Потенциальное векторное поле

Определение:

Векторное поле Теория поля и элементы векторного анализаназывается потенциальным, если существует скалярная величина Теория поля и элементы векторного анализа, такая, что

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа – называется скалярным потенциалом поля.

Свойства потенциального поля

В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е.


Теория поля и элементы векторного анализа


Доказательство:


Теория поля и элементы векторного анализа


Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)


Теория поля и элементы векторного анализа


Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках.


Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках.


Теория поля и элементы векторного анализа


отсюда получаем

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа


Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми.

Доказательство от противоположного:

Допустим, что есть замкнутая векторная линия L. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура Теория поля и элементы векторного анализа и, следовательно, и циркуляция по нему больше нуля Теория поля и элементы векторного анализа, что противоречит свойству 2.

Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов.

Соленоидальное векторное поле

Определение:

Векторное полеТеория поля и элементы векторного анализаназывается соленоидальным (вихревым), если существует векторная величина Теория поля и элементы векторного анализатакая, что


Теория поля и элементы векторного анализа= rot Теория поля и элементы векторного анализа


Теория поля и элементы векторного анализа– называется векторным потенциалом поля Теория поля и элементы векторного анализа.

Свойства соленоидального поля

Для того чтобы поле Теория поля и элементы векторного анализа было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство div Теория поля и элементы векторного анализа= 0, т.е. его поток через всякую замкнутую поверхность, погруженную в поле, = 0. Следовательно, соленоидальные поля лишены источников и стоков.

Замечание: Это свойство можно положить в определение.

Доказательство основывается на том, что


Теория поля и элементы векторного анализа=

Следствие Теория поля и элементы векторного анализа= 0

Теория поля и элементы векторного анализа


как следствие этого свойства получаем, что поток вектора Теория поля и элементы векторного анализасоленоидального поля через две одинаково ориентированные поверхности S1 и S2, опирающиеся на один и тот же контур L, одинаков.

Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков.

Доказательство:

Отрезок векторной трубки, ограниченный сечениями S1, S2 и Sd, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную в соленоидальное поле. Поэтому Теория поля и элементы векторного анализа


Теория поля и элементы векторного анализа, но Теория поля и элементы векторного анализа, т.к. Теория поля и элементы векторного анализа.


Учитывая, что Теория поля и элементы векторного анализа и Теория поля и элементы векторного анализа направлены в противоположные стороны, и вводя (–Теория поля и элементы векторного анализа), получим


Теория поля и элементы векторного анализа отсюда следует Теория поля и элементы векторного анализа


В соленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля. Так как Теория поля и элементы векторного анализа, то векторные линии поля Теория поля и элементы векторного анализа не могут начинаться или кончаться в области поля, иначе в…? будет существовать сток или исток, что противоречит свойству 1.

Сумма соленоидальных векторных полей есть соленоидальное поле.

Потенциальное несжимаемое поле. Гармоническое поле


Теория поля и элементы векторного анализа, Теория поля и элементы векторного анализа отсюда следует Теория поля и элементы векторного анализа=Теория поля и элементы векторного анализа

Теория поля и элементы векторного анализа Теория поля и элементы векторного анализа


Это поле часто называют гармоническим или полем Лапласа.

Резюме

По заданному полю Теория поля и элементы векторного анализамы всегда можем найти поля u и Теория поля и элементы векторного анализа. Справедливо и обратное утверждение: по известным u и Теория поля и элементы векторного анализа всегда можно найти искомое поле Теория поля и элементы векторного анализа.

Пусть поле Теория поля и элементы векторного анализаизвестно, тогда потенциалы u и Теория поля и элементы векторного анализа находятся из уравнений:

Теория поля и элементы векторного анализа Теория поля и элементы векторного анализа

Если u и Теория поля и элементы векторного анализа известны, тогда векторное поле Теория поля и элементы векторного анализаопределяется из уравнений:


Теория поля и элементы векторного анализа


Эти уравнения всегда разрешимы.

Теорема о разложимости произвольного векторного поля

Произвольное векторное поле Теория поля и элементы векторного анализавсегда может быть представлено в виде суммы потенциального Теория поля и элементы векторного анализа и соленоидального

Похожие рефераты: