Xreferat.com » Рефераты по математике » Бескоалиционные игры

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Бескоалиционные игры

Антагонистические игры, которые мы изучали ранее, описывают конфликты весьма частного вида. Более того, для большинства имеющих место в реальной жизни конфликтов антагонистические игры либо вовсе не могут считаться приемлемыми, адекватными описаниями, либо, в лучшем случае, могут рассматриваться как первые грубые приближения.

Во-первых, антагонистические игры никак не затрагивают своими описаниями конфликты с числом строк, большим чем два. В месте с тем, такие многосторонние конфликты не только встречаются в действительности, но являются принципиально более сложными, чем конфликты с двумя участниками, и даже не поддаются сведению к последним.

Во-вторых, даже в конфликтах с двумя участниками интересы сторон вовсе не обязаны быть противоположными; во многих конфликтах такого рода случается так, что одна из ситуаций оказывается предпочтительнее другой для обоих участников.

В-третьих, даже если любые две ситуации сравниваются игроками по их предпочтительности противоположным образом, различие разностей в оценках этой предпочтительности оставляет место для соглашений, компромисов и коопераций.

Наконец, в-четвёртых, содержательная острота конфликта не обязательно соответствует его формальной антагонистичности. Например, при встрече двух боевых единиц воюющих сторон (скажем, танков) обоюдное их стремление уничтожить друг друга не выражает антогонистичности конфликта: в антогонистическом конфликте цели сторон оказываются строго противоположными, и стремлению одной стороны уничтожить другую противоположным будет стремление избежать уничтожения.

В качестве примера БАИ рассмотрим:

1. Игры двух лиц с произвольной суммой.

Бескоалиционные игры.

В конечной бескоалиционной игре двух игроков (КБИДИ)каждый из них делает один ход – выбирает одну стратегию из имеющегося у него конечного числа стратегий, и после этого он получает свой выигрыш согласно определённым для каждого из них матрицами выигрышей. Другими словами КБИДИ полностью определяется двумя матрицами выигрышей для двух игроков. Поэтому такие игры называются биматричными. Пусть у игрока 1 имеется m стратегий, i =Бескоалиционные игры, у игрока 2 имеется n стратегий, j =Бескоалиционные игры. Выигрыши игроков 1 и 2 соответственно задаются матрицами

А = Бескоалиционные игры,   В = Бескоалиционные игры

Будем по-прежнему считать полный набор вероятностей  x = (x1, ..., xm) применения 1 игроком своих чистых стратегий смешанной стратегией игрока 1, и у = (y1, ..., yn) – смешанной стратегией игрока 2. тогда средние выигрыши игроков 1 и 2 соответственно равны

Бескоалиционные игры                  Бескоалиционные игры

Ситуация равновесия для биматричной игры составляет пару (x,y) таких смешанных стратегий игроков 1 и 2, которые удовлетворяют неравенствам :

Бескоалиционные игры

или

Бескоалиционные игры

Для определения ситуаций равновесия необходимо решить систему неравенств (1) и (2)  (Бескоалиционные игры и Бескоалиционные игры) относительно неизвестных x = (x1, ..., xm)  и  у = (y1, ..., yn) при условиях

Бескоалиционные игры,   Бескоалиционные игры,   xi ³ 0   (i =Бескоалиционные игры),   yj ³ 0   (j =Бескоалиционные игры).

Теорема (Нэша). Каждая биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия.

В качестве примера рассмотрим случай, когда каждый игрок имеет две чистые стратегии. В этом случае матрицы A и B равны :

A = Бескоалиционные игры,   B = Бескоалиционные игры.

Смешанные стратегии для игроков 1 и 2 имеют вид :

(x, 1– x),    (y, 1– y)          0 £ x £ 1;   0 £ y £ 1,

а средние выигрыши равны :

E1(A,x,y) = xAБескоалиционные игры = (x; 1- x)Бескоалиционные игрыБескоалиционные игры=

= (a11 – a12 – a21 + a22) xy + (a12 - a22) x + (a21 - a22) y + a22.

E2(B,x,y) = xBБескоалиционные игры = (x; 1- x)Бескоалиционные игрыБескоалиционные игры=

= (b11 - b12 - b21 + b22) xy + (b12 - b22) x + (b21 - b22) y + b22.

Условия Бескоалиционные игры и Бескоалиционные игры будут выглядеть

Бескоалиционные игрыБескоалиционные игры £  E1(A,x,y),

(x; 1- x)Бескоалиционные игры £  E2(B,x,y),

или

Бескоалиционные игры                     Бескоалиционные игры

Бескоалиционные игры                    Бескоалиционные игры

Преобразовав (3) и (4), получим

Бескоалиционные игры(1- x) y + Бескоалиционные игры (1- x) £ 0

(a11 - a12 - a21 + a22) xy + (a12 - a22) x ³ 0

или

Бескоалиционные игры

Т. о., множество всех приемлемых стратегий для игрока 1 удовлетворяет условиям (5) и (6),  0 £ x £ 1;  0 £ y £ 1. Чтобы найти x рассмотрим 3 случая :

1.   Если x = 0, то (6) справедливо " y, а (5) имеет вид :

a1y - a2 £ 0.                                      Бескоалиционные игры

2.   Если x = 1, то (5) справедливо " y, а (6) имеет вид :

a1y - a2 ³ 0.                                      Бескоалиционные игры

3.   Если 0 < x < 1, то (5) разделим на (1 - x), а (6) – на  x  и получим

Бескоалиционные игры        Бескоалиционные игры

Итак, множество К решений системы (5) – (6) состоит из

всех ситуаций вида (0; y), если  a1y - a2 £ 0;  0 £ y £ 1;

всех ситуаций вида (x; y), если  a1y - a2 = 0;  0 < x < 1;

всех ситуаций вида (1; y), если  a1y - a2 ³ 0;  0 £ y £ 1.

Если  a1 = a2 = 0, то решением является  xÎ[0; 1],  yÎ[0; 1],  т. к. все неравенства    (7) – (8) выполняются при всех  x и y,  т. е. множество приемлемых для игрока 1 ситуаций покрывает весь единичный квадрат.

Если  a1 = 0,  a2 ¹ 0,  то выполняется либо (7), либо (8), и поэтому решением является либо  x = 0, либо x=1  при  0 £ y £ 1 (приемлемой стратегии в игре не существует).

Если  a1 > 0,  то из (7) получаем решение

x = 0;  y £ Бескоалиционные игры:= a,

Из (8) следует ещё решение  x = 1,  y ³ a,  из (9) следует ещё решение

0 < x < 1,   y = a.

Если a1 < 0, то решение следующее :

x = 0,  y ³ a;  x = 1,  y £ a;  0 < x < 1,  y = a.

При этом необходимо учитывать, что дополнительно должно быть

0 £ y £ 1.

Геометрически это выглядит следующим образом :

Бескоалиционные игры                y                   ¥                            y                  ¥                           y                   ¥

            1                                                 1                                                1

                                       a1>0                                           a1>0                                           a1>0

                                       a<0                                            a=0                                           1< a<1

                                                                                                                           (x, a)

           0                        1           x          0                       1            x           0                      1           x

                 – ¥                                             – ¥                                             – ¥

Бескоалиционные игрыБескоалиционные игрыБескоалиционные игры       y                   ¥                           y                                                  y

                                                                               ¥                          ¥

  1                         a1>0                 1                        a1>0                 1                         a1< 0

            (x, 1)         a=1                                           a >1                          (x, a)        0< a<1

                                                          (0, b)

                                       x                                                 x                                                  x

  0   – ¥              1                        0   – ¥              1                       0               – ¥   1

Для игрока 2 исследования аналогичны. Если ввести обозначения

b1 := b11 - b12 - b21 + b22

b2 := b22 - Бескоалиционные игры

то множество L приемлемых для него ситуаций состоит из :

всех ситуаций вида (x, 0), если  b1x - b2 < 0; 0 £ x £ 1,

всех ситуаций вида (x, y), если  b1x - b2 = 0; 0 £ x £ 1; 0 < y < 1,

всех ситуаций вида (x, 1), если  b1x - b2 > 0; 0 £ x £ 1.

Результаты следующие :

если  b1 = b2 = 0, то решение 0 £ x £ 1; 0 £ y £ 1;

если  b1 = 0; b2 ¹ 0, то решение либо y = 0, либо y = 1 при 0 £ x £ 1 (приемлемой стратегии в игре не существует);

если  b1 > 0, то решения следующие :

y = 0,  x < Бескоалиционные игры= b;  y = 1,  x > b;  0 < y < 1;  x = b;

если  b1 < 0, то решения следующие :

y = 0,  x > b;  y = 1,  x < b;  0 < y < 1;  x = b

При этом необходимо учитывать, что 0 £ x £ 1.

Бескоалиционные игрыБескоалиционные игры                y                                                                           y

           1                                                                      1

                (b,y)                                                                    (b,y)

                                                  x                                                                           x

           0                    1                                                     0                    1

                    b1 > 0                                                                     b1 < 0

                  0 < b < 1                                                               0 < b < 1

Решением игры является пересечение множеств K и L, т.е. те значения  x и y, которые являются общими для множеств K и L.

                      y                                                                          y

Бескоалиционные игры                1                                                                     1

                                                            x                                                                          x

                0                                1                                         0                               1                        

                                   а)                                                                     б)

При этом зигзаги  K и L  могут быть не только одинаковой, но и противоположной направленности. В первом случае зигзаги имеют одну точку пересечения, а во-втором – три. Средние выигрыши при этом определяются по формулам (*), если в них подставить полученное решение  x и y  (рис.а)). Очевидно a входит в смешанную стратегию игрока 2, хотя зависит только от выигрышей 1 игрока; b входит в смешанную стратегию игрока 1, хотя зависит только от выигрышей игрока 2. Сравнение этих результатов с результатами решения матричных игр с нулевой суммой показывает, что a совпадает с оптимальной стратегией игрока 1 в матричной игре с матрицей A, а b – с оптимальной стратегией игрока 2 в матричной игре с матрицей B. Отсюда можно сделать вывод, что равновесная ситуация направляет поведение игроков не только на максимизацию своего выигрыша, сколько на минимизацию выигрыша противника.

С другой стороны, естественно также рассматривать подходящим поведение игроков в конечных бескоалиционных играх, направленное на максимизацию своего выигрыша с учётом максимального противодействия игрока, т.е. подходящей стратегией игрока 1 считать оптимальную смешанную стратегию игрока 1 в матричной игре с матрицей A, а подходящей стратегией игрока 2 считать оптимальную смешанную стратегию игрока 2 в матричной игре с матрицей B, если в ней рассматривать решение с позиций максимизации выигрыша игрока 2, т.е. решать её, как для игрока 1, с матрицей Бескоалиционные игры.

Пример1. Министерство желает построить один из двух объектов на территории города. Городские власти могут принять предложения министерства или отказать. Министерство – игрок 1 – имеет две стратегии: строить объект 1, строить объект 2. Город – игрок 2 – имеет две стратегии: принять предложение министерства или отказать. Свои действия (стратегии) они применяют независимо друг от друга, и результаты определяются прибылью (выигрышем) согласно следующим матрицам :

A = Бескоалиционные игры,     B = Бескоалиционные игры

(например: если игроки применяют свои первые стратегии, министерство решает строить 1 объект, а городские власти разрешают его постройку, тогда город получает выигрыш 5 млн, а министерство теряет 10 млн, и т.д.)

Решение. Для этой игры имеем :

a1 = a11 - a12 - a21 + a22 = -10 - 2 - 1 - 1 = -14 < 0,

Бескоалиционные игрыa2 = a22 - a12 = -1 - 2 = -3,

Бескоалиционные игры.

Так как  a1 < 0, то множество решений K имеет следующий вид :

(0, y)   при   Бескоалиционные игры;

(x, Бескоалиционные игры)   при   0 £ x £ 1;

(1, y)   при   0 £ y £ Бескоалиционные игры.

         Для 2 игрока имеем :

b1 = b11 - b12 - b21 + b22 = Бескоалиционные игры5 + 2 + 1 + 1 = 9 > 0,

b2 = b22 - b21 = 1 + 1 = 2,

Бескоалиционные игры.

                                                                       y  

                                                                1

Бескоалиционные игрыТак как b1 > 0, то множество решений L                                L

имеет следующий вид :

Бескоалиционные игрыБескоалиционные игры                                                                                                             K

   (x; 0),   при   0 £ x £Бескоалиционные игры;                    Бескоалиционные игры

(Бескоалиционные игры; y),   при   0 £ y £ 1;                        0         Бескоалиционные игры                            1                      x

 (x; 1),   при   Бескоалиционные игры£ x £ 1.

Точка пересечения множеств L и K есть точка C с координатами  x = Бескоалиционные игры;  y = Бескоалиционные игры и является соответственно приемлемыми стратегиями министерства и города.

При этом выигрыш соответственно равен

E1(A,x,y) = (x, 1-x)Бескоалиционные игрыБескоалиционные игры=

= Бескоалиционные игрыБескоалиционные игрыБескоалиционные игры= Бескоалиционные игры

E2(A,x,y) = (x, 1-x)Бескоалиционные игрыБескоалиционные игры= Бескоалиционные игры

Замечание. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей A оптимальные смешанные для 1 игрока и цена игры получаются из решения уравнений

Бескоалиционные игры

откуда вероятность применения игроком 1 первой стратегии равна Бескоалиционные игры, цена игры –  Бескоалиционные игры, что совпадает