Xreferat.com » Рефераты по математике » Теория отображений

Теория отображений

Отобразить верхнюю половину плоскости с разрезами по отрезкам Теория отображений на верхнюю полуплоскость.

Решение:

Теория отображений

Отображение

Теория отображений

отображает верхнюю полуплоскость с разрезами на верхнюю полуплоскость без разрезов (под операцией взятия в квадратные скобки надо пономать взятие целой части от числа). Докажем это:

Рассмотрим отображение Теория отображений из полосы Теория отображений полуплоскости сразрезами в полуплоскость без разрезов. Теория отображений(*) совершенно очевидно ,что в нашем случае Теория отображений. То есть, мы получаем верхнюю полуплоскость без действительной оси. Рассмотрим образ луча Теория отображений.

Подставляя в формулу (*) значения z на луче мы получим в образе луч, лежащий на действительной оси Теория отображений. В результате мы получили, что образом полосы Теория отображений(1) является Теория отображений.

Если на полосу Теория отображений плоскости без разреза подействовать отображением sin(Z) то в образе получим такое множество Теория отображений(2). Применив отображение Теория отображений к полосе(1) с разрезом в образе получим множество (2).

Поэтому функция Теория отображений отображает полосу Теория отображений с разрезом в полосу Теория отображений без разреза.

Продолжим эту функцию на всю полуплоскость с разрезами. Рассмотрим функцию Теория отображений заданную в полосе Теория отображений с разрезом.

Функция отображает эту полосу на полосу Теория отображений без разреза.

И тогда отображение Теория отображений отображает полосу Теория отображений без разреза.

Проверим является ли функция Теория отображений аналитическим продолжением функции Теория отображений. Для этого применим теорему:

Теорема.

Пусть функция Теория отображений аналитична в области Теория отображений и функция аналитична в области Теория отображений. И области Теория отображений и Теория отображений имеют общий фрагмент граници Теория отображений. Если функции на Теория отображений совпадают то функция является аналитическим продолжением функции Теория отображений в область Теория отображений.

Естественно функции Теория отображений и Теория отображений совпадают на луче Теория отображений.

Поэтому функция Теория отображений является аналитическом продолжением функции Теория отображений на полосу Теория отображений.

Совершенно аналогично мы можем продолжмть функцию на всю верхнюю полуплоскость с вырезами. И в результате получим функцию: Теория отображений

отображающую верхнюю полуплоскость с вырезами на верхнюю полуплоскость без вырезов.

Похожие рефераты: