Трансформация преобразований

Оглавление

Предисловие

1. Понятие трансформации преобразований

2. Трансформация движения движением

2.1. Трансформация осевой симметрии движением

2.2. Трансформация параллельного переноса движением

2.3. Трансформация поворота движением

2.4. Трансформация центральной симметрии движением

2.5. Трансформация зеркальной симметрии движением

2.6. Трансформация поворота относительно оси движением

3. Трансформация гомотетии движением

4. Трансформация гомотетии гомотетией

5. Трансформация движения гомотетией

5.1. Трансформация осевой симметрии гомотетией

5.2. Трансформация параллельного переноса гомотетией

5.3. Трансформация произвольного движения гомотетией

6. Трансформация подобия гомотетией

7. Трансформация движения подобием

8. Трансформация подобия движением

9. Трансформация гомотетии подобием

10. Трансформация подобия подобием

11. Трансформация движения аффинным преобразованием

11.1. Трансформация параллельного переноса аффинным преобразованием

11.2. Трансформация центральной симметрии аффинным преобразованием

11.2. Трансформация осевой симметрии аффинным преобразованием

12. Трансформация гомотетии аффинным преобразованием

13. Трансформация аффинного преобразования гомотетией

13.1. Трансформация произвольного аффинного преобразования гомотетией

13.2. Трансформация косого сжатия гомотетией

13.3. Трансформация сдвига гомотетией

14. Трансформация аффинного преобразования движением

14.1. Трансформация произвольного аффинного преобразования движением

14.1.1. Трансформация аффинного преобразования параллельным переносом

14.1.2. Трансформация аффинного преобразования центральной симметрией

14.1.3. Трансформация аффинного преобразования осевой симметрией

14.1.4. Трансформация аффинного преобразования зеркальной симметрией

14.2. Трансформация косого сжатия движением

14.3. Трансформация сдвига движением

15. Трансформация аффинного преобразования подобием

15.1. Трансформация косого сжатия подобием

15.2. Трансформация сдвига подобием

16. Трансформация аффинного преобразования аффинным преобразованием

16.1. Трансформация косого сжатия произвольным аффинным преобразованием

17. Решение задач с помощью трансформации преобразований

Библиографический список

Предисловие

Преобразованиями можно отображать не только точки и прямые, но и сами преобразования, поэтому в данной работе мы рассмотрим, как с помощью одного преобразования можно получить другое.

Целью моей работы является рассмотрение темы трансформации преобразований. Основные задачи:

Познакомиться с литературой по данной теме

Ввести понятие трансформации преобразований

Рассмотреть различные примеры трансформаций

Привести примеры задач, решаемых с помощью трансформации преобразований

В основном в работе рассматриваются преобразования плоскости, если не оговорено иное.

При написании данной работы во многом использовалась книга «Перемещения и подобия плоскости» Понарина Я.П. и Скопеца З.А. В ней дается систематическое и углубленное изложение теории перемещений и преобразований подобия плоскости, рассматриваются многочисленные примеры, иллюстрирующие применение теоретических положений. Анализируются задачи на вычисление, доказательство и построение, рационально решаемые с помощью метода геометрических преобразований, также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Также большую помощь при написании данной работы оказала книга Понарина Я.П. «Преобразования пространства». Здесь содержится теоретический и практический материал по теме аффинных преобразований, рассмотрены движения, подобия и аффинные преобразования трехмерного пространства. Изложение сопровождается образцами решения задач.

Хотелось бы отметить книгу Яглома И.М. и Ашкинузе В.Г. «Идеи и методы аффинной и проективной геометрии». Часть 1. Она содержит разнообразный материал, связанный с идеями и методами аффинной геометрии, причем этот материал преподносится без отрыва от элементарной геометрии.

1. Понятие трансформации преобразований

Если f и g – преобразования некоторого множества, например, множества всех точек плоскости, и f(A)=B, g(A)=A1, g(B)=B1, то точке А1 поставим в соответствие точку В1. Вообще, каждую пару (А, f(A)) отобразим преобразованием g. Множество всех полученных при этом новых пар (А1, g(f(A))) есть новое преобразование плоскости, являющееся композицией (рис.1), поскольку эта композиция отображает А1 на В1. Условимся обозначать и говорить, что преобразование f g получается из f под действием преобразования g. Запись f g кратко будем читать «эф под же».

Итак, по определению

, (1)

в частности, и E f = E.

Имеют место следующие формулы:

,

, (2)

(f g)-1 = (f -1)g.

Действительно, . Поскольку , то, вставляя между g и f и используя ассоциативное свойство всякой композиции преобразований, получаем . Далее . Учитывая, что преобразование, обратное композиции данных преобразований, является композицией обратных им преобразований, взятых в обратном порядке, т.е. , получаем . Наконец, .

Если преобразование f инволютивно, то и то и f g также инволютивно. В самом деле, если , но f ≠ Е, то , но f g ≠ Е, так как из f g = Е следует f = Е.

Теорема о неподвижной точке. Если А – неподвижная точка преобразования f, то g(A) – неподвижная точка преобразования f g, и обратно:

f(A) = A ↔ f g(g(A)) = g(A).

Доказательство. Если f(A) = A, то f g(g(A)) = g(f(g-1(g(A)))) = =g(f(A)) = g(A). Обратно, если f g(g(A)) = g(A), т.е. g(f(g-1(g(A)))) = g(A), то g(f(A)) = g(A). Поскольку при преобразовании образы любых двух различных точек не совпадают, то из совпадения образов точек f(A) и A при преобразовании g следует и совпадение этих точек: f(A) = A. [1]

Аналогичная теорема имеет место и для двойных прямых.

2. Трансформация движения движением

Применим теперь рассмотренные формулы и свойства к движениям. Если f и g – движения, то, в силу (1), f g – тоже движение. Более того, так как неподвижные точки движения f переходят в неподвижные точки движения f g, а вид движения характеризуется его неподвижными точками, то оба движения - f и f g – одного и того же вида, независимо от движения g.

2.1. Трансформация осевой симметрии движением

Принимая во внимание предыдущее свойство неподвижных точек и двойных прямых, получим

(Sl)g = Sg(l). (3)

С помощью этой формулы можно получить аналогичные формулы для остальных движений частного вида. Для этого найдем сначала:

. [1]

2.2. Трансформация параллельного переноса движением

Если прямые u и v параллельны, то отображение g отображает их на параллельные прямые g(u) и g(v) с сохранением расстояния между ними. Следовательно, если , то

. (4)

В частности, если g есть поворот , то по свойству поворота ориентированный угол между векторами и равен углу α поворота. Отсюда из равенства следует, что результат поворота вектора не зависит от центра поворота.

Теорема. Для любого вектора , любого действительного числа х и перемещения g имеет место равенство:

. (5)

Доказательство. Если , то в силу (4) . Так как движение g сохраняет величину угла между векторами, а значит, и сохраняет, в частности, их сонаправленность или противонаправленность, то из или вытекает соответственно или . Отсюда и из равенства следует (5).

Доказанная зависимость (5) с помощью первой формулы (2) обобщается на такую:

. (6)

Действительно, .

Ясно, что зависимость вида (6) будет справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. [1]

2.3. Трансформация поворота движением

Далее, если u∩v = O, то g(u)∩g(v) = g(O) и (g(u), g(v)) = (u, v), если g – движение 1-го рода, и (g(u), g(v)) = -(u, v), если g – движение 2-го рода. Поэтому, если , то

(7)

где знак «+» берется при движении g 1-го рода и «-» - при движении g второго рода. [1]

В частности, если прямая l проходит через т.О пересечения прямых u и v, то

. (8)

2.4. Трансформация центральной симметрии движением

Так как центральная симметрия – частный случай поворота, а именно – поворот на 180°, то , а в силу формулы (7) , а это, в свою очередь, Zg(O). Таким образом,

(ZO)g = Zg(O). (9)

2.5. Трансформация зеркальной симметрии движением

Рассмотрим трансформацию преобразования пространства – зеркальной симметрии. Неподвижными точками преобразования являются точки g(α), которые также образуют плоскость (по свойству движения), значит,

. (10)

2.6. Трансформация поворота относительно оси движением

Поворот относительно оси l на угол α – это преобразование пространства, композиция двух зеркальных симметрий относительно плоскостей β и γ таких, что β∩γ = l, (β, γ) = α. Заметим, что в данном примере движение g также должно быть движением пространства, поэтому оно не может быть поворотом относительно точки. Далее, , по формулам (2) это равняется (по (10)). Пусть g(β)∩g(γ) = m, (g(β), g(γ)) = φ. Тогда по определению поворота относительно оси .

β∩γ = l, а т.к. образ пересечения равен пересечению образов, то g(β)∩g(γ) = g(l) и (g(β), g(γ)) = (β, γ), если g – первого рода и (g(β), g(γ)) = = -(β, γ), если g– второго рода, поэтому

. (12)

3. Трансформация гомотетии движением

Рассмотрим . Пусть g(О)=А. Тогда по свойству неподвижных точек и двойных прямых, А – неподвижная точка преобразования , также мы имеем пучок неподвижных прямых в т. А, поэтому данное преобразование не может быть поворотной гомотетией или гомотетической симметрией. Следовательно, . Найдем коэффициент с, для этого рассмотрим точку М1, пусть |М1,A| = d.

Пусть g(М1) = М, мы знаем, что g(О)=А тогда по свойствам движения |МО| = d.

Пусть , по определению гомотетии |М2О| = kd.

Пусть g(М2) = М3, по свойствам движения |М3А| = kd. А т.к. при гомотетии все расстояния изменяются в одно и то же число раз, то с = k. Следовательно,

. (21)

4. Трансформация гомотетии гомотетией

Найдем сначала композицию двух гомотетий , для этого рассмотрим вектор . По свойству гомотетии, , а .

Рассмотрим первый случай, когда lk = 1, тогда мы получили преобразование, при котором вектор перешел сам в себя, а это параллельный перенос . Найдем вектор , для этого найдем образ точки О при этой композиции. , а : . Тогда . Значит, композиция двух гомотетий при lk = 1 есть параллельный перенос на вектор .

. (22)

Рассмотрим второй случай, когда lk ≠ 1. Найдем неподвижные точки этого преобразования. Пусть точка М – неподвижная, тогда если , а , то М = D, значит, . Но . Т.к. и , то . Тогда . Т.к. lk ≠ 1, то выразим вектор : . Значит, у данного преобразования только одна неподвижная точка М, причем , следовательно, точки O, Q, M лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что данное преобразование будет гомотетией с центром в т. М и коэффициентом lk. Возьмем произвольную точку Е, пусть , а . Докажем, что (рис. 2). Разложим векторы и по векторам и . По правилу треугольника, , а . Ранее мы выразили вектор через вектор : , тогда вектор выражается через вектор следующим образом: . Вектор при гомотетии переходит в вектор , тогда . Значит, . Теперь приведем подобные слагаемые и разложим вектор по векторам и , после этого получим . Вектор при гомотетии переходит в вектор , значит, , а вектор вновь выразим через , тогда . Приведем подобные слагаемые, получим

. По правилу треугольника , следовательно . Таким образом, мы показали, что преобразование произвольную точку E переводит в точку G такую, что , следовательно, это преобразование – гомотетия с центром в точке М и коэффициентом lk.

. (23)

Сейчас найдем преобразование . , а это по формуле (23) равняется , . Далее применяя формулу (23), получаем , . Выразим вектор через вектор