Xreferat.com » Рефераты по математике » Предельные точки

Предельные точки

Федеральное агентство по образованию


Кафедра общей математики


Курсовая работа по математическому анализу на тему:

«Предельные точки»


2008

Содержание:


Введение

Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

Замкнутые и открытые множества

Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Заключение

Используемая литература


Введение


Начинать курсовую работу по этой теме, на мой взгляд, стоит с определения понятия множество, так как оно является одним из основных понятий математического анализа.

Множество − это совокупность объектов любой природы. Определение множества есть описательное определение с помощью слов разговорного языка.

Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками. Для обозначения различных множеств чаще всего используются заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств – малые (строчные) буквы.

Два множества Предельные точки называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это записывают так: Предельные точки или Предельные точки.

Если элемент a принадлежит множеству А, то пишут: Предельные точки, если же не принадлежит, то записывают так: Предельные точки.

Если все элементы множества Предельные точки принадлежат множеству Предельные точки, то Предельные точки называется подмножеством множества Предельные точки, и пишут: Предельные точки.

Очевидно, что если Предельные точки и Предельные точки, то Предельные точки.

Обычно, удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества Предельные точки, которое называют универсальным.

Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве Предельные точки, нужен четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят в Предельные точки. Если обозначить это условие через Предельные точки, то тот факт, что условие Предельные точки порождает множество Предельные точки, записывают следующим образом: Предельные точки.

Может оказаться так, что для некоторого свойства Предельные точки во всем множестве Предельные точки вообще нет элементов, которые удовлетворяют данному условию. В таком случае говорят, что это пустое множество, оно не содержит ни одного элемента.

Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические знаки, называемые кванторами:


Предельные точки

Множество Предельные точкиназывается объединением (или суммой) множеств Предельные точки и Предельные точки,если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.

Обозначается это так:


Предельные точки.


Свойства:


Предельные точки.


Пересечением множеств Предельные точки и Предельные точки называется множество Предельные точки, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и Предельные точки, и Предельные точки, т.е. элементов, общих для этих множеств. Доказать равенство двух множеств - это значит доказать, что всякий элемент Предельные точки, принадлежащих правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.

Для произвольной совокупности множеств Предельные точки, где Предельные точкипробегает все элементы некоторого множества Предельные точки, пишут

Предельные точки,


если Предельные точки есть объединение всех множеств Предельные точки

Аналогично, Предельные точки, если Предельные точки− пересечение всех множеств Предельные точки.

Выше я привела примеры некоторых операций над множествами. Существуют также такие операции, как разность двух множеств, Декартовое произведение множеств, отображение множеств, обратные функции, взаимно однозначные соответствия и пр.


1. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума


Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о «количестве» элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые из них. Предельные точки множество всех чисел натурального ряда; Предельные точкимножество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль).

О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных − нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества − это понятие, которое обобщает понятие «количество элементов» на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины «мощность множества» и «количество элементов множества» − синонимы.

Множества Предельные точки и Предельные точкиназываются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так: Предельные точки~Предельные точки. Свойства: Предельные точки~Предельные точки; Предельные точки~Предельные точкиПредельные точки Предельные точки ~Предельные точки;Предельные точки~Предельные точки,Предельные точки~Предельные точки Предельные точкиПредельные точки~Предельные точки.

Если Предельные точки и Предельные точкиэквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Можно привести важный пример эквивалентности бесконечных множеств.

Утверждение 1: Множество Предельные точки (натуральных чисел) и множество Предельные точки (рациональных чисел, т.е. всех дробей Предельные точки) эквивалентны.

Доказательство: достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:

Предельные точки


Такое представление единственно. Высотой рационального числа Предельные точки назовем величину Предельные точки. Эта высота сама является натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3,… и т.д. При фиксированном Предельные точки существует не более Предельные точки различных несократимых дробей, т.к. тогда знаменатель Предельные точки может принимать значения 1,2,…,Предельные точки, а для данного Предельные точки числитель Предельные точки числа Предельные точки может принимать не более двух значений: Предельные точки. Таким образом, с данной высотой Предельные точки число рациональных чисел не более Предельные точки.

Будем нумеровать дроби в порядке возрастания Предельные точки; при фиксированном Предельные точки в порядке возрастания Предельные точки, а при фиксированных Предельные точки и Предельные точки- в порядке возрастания Предельные точки. Тогда получим:


Предельные точки


и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,… будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера. Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств Предельные точкии Предельные точки.

Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.

Исходя из этого определения, можно упомянуть о некоторых теоремах:

Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Всякое бесконечное подмножество счетного множества тоже счетно.

Сумма конечного числа счетных множеств – тоже счетное множество.

Сумма счетного множества счетных множеств – тоже счетное множество.

Сумма конечного или счетного множества множеств, каждое из которых конечно или счетно, есть конечное или счетное множество.

Множество всех рациональных чисел счетно.

Множество Предельные точки всех алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами счетно.

Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство: занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном шаге, то оно конечно, иначе - счетно.

Утверждение 3. Сумма конечного или счетного числа счетных множеств счетна.

Доказательство. Проведем нумерацию элементов суммы множеств по схеме:


Предельные точки

За Предельные точки шагов будут заведомо занумерованы все элементы Предельные точки.

Стоит обратить внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1-3, оказались равномощными, точнее счетными. Но не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1: совокупность Предельные точки всех подмножеств любого множества X сама образует множество, не эквивалентное X. Эта теорема (точнее, ее модификация Предельные точки~Предельные точки) была доказана Г. Кантором (1845-1918) в 1874 г.

Доказательство: (от противного). Пусть Предельные точки~Предельные точки. Значит имеется биективное соответствие Предельные точки Тогда, если Предельные точки, то ему однозначно соответствует Предельные точки. Теперь всякую точку Предельные точки назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т.е., если Предельные точки. В противном случае эту точку Предельные точки будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество Предельные точки, состоящее из всех особых точек Предельные точки. Тогда ясно, что Предельные точки является элементом множества Предельные точки. В силу наличия взаимно однозначного соответствия Предельные точки между Предельные точки и Предельные точкинайдется такая точка Предельные точки. При этом сама точка Предельные точки обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда бы по определению правильной точки она принадлежала бы Предельные точки, что невозможно, т. к. ко множеству Предельные точки по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию, т. к. тогда по определению особой точки Предельные точки, а с другой стороны, тогда точка Предельные точки как особая точка должна войти в дефект Предельные точки по его построению.

Таким образом, предположение о существовании биекции между Предельные точки и Предельные точки во всех случаях ведет к противоречию, т. е. Предельные точки и Предельные точкине эквивалентны.

Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы справедливы в том случае, когда Предельные точки есть пустое множество. Тогда мощность множества Предельные точки равна 0, а множество Предельные точки состоит ровно из одного элемента, т. е. самого Предельные точки и поэтому мощность равна Предельные точки.

Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно Предельные точки. По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств Предельные точки, а значит, множество последовательностей, составленных из 0 и 1.

Прием, с помощью которого доказана теорема 1, называется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Кантором в 1874 г. При доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве Предельные точки взять натуральный ряд Предельные точки, то получится, что множество подмножеств, т. е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно Предельные точки.

Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.

Утверждение 4. Множество Предельные точки точек отрезка Предельные точки имеет мощность континуума.

Доказательство: в двоичной записи каждая точка единичного отрезка Предельные точки может быть записана в виде


Предельные точки


Такая запись единственна, за исключением чисел вида Предельные точки.А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой – все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида Предельные точки, установим соответствие так:

Предельные точки

А так как множество точек вида Предельные точки счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка Предельные точки и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.


2. Замкнутые и открытые множества


Пусть задано множество Предельные точки.

Точка Предельные точки называется предельной точкой множества Предельные точки, если из того, что Предельные точки и Предельные точки, следует, что Предельные точки.

Предельная точка Предельные точки может принадлежать и не принадлежать Предельные точки, но если все предельные точки Предельные точки принадлежат

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: