Предельные точки
Федеральное агентство по образованию
Кафедра общей математики
Курсовая работа по математическому анализу на тему:
«Предельные точки»
2008
Содержание:
Введение
Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума
Замкнутые и открытые множества
Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве
Заключение
Используемая литература
Введение
Начинать курсовую работу по этой теме, на мой взгляд, стоит с определения понятия множество, так как оно является одним из основных понятий математического анализа.
Множество − это совокупность объектов любой природы. Определение множества есть описательное определение с помощью слов разговорного языка.
Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками. Для обозначения различных множеств чаще всего используются заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств – малые (строчные) буквы.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Это записывают так: или .
Если элемент a принадлежит множеству А, то пишут: , если же не принадлежит, то записывают так: .
Если все элементы множества принадлежат множеству , то называется подмножеством множества , и пишут: .
Очевидно, что если и , то .
Обычно, удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества , которое называют универсальным.
Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве , нужен четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят в . Если обозначить это условие через , то тот факт, что условие порождает множество , записывают следующим образом: .
Может оказаться так, что для некоторого свойства во всем множестве вообще нет элементов, которые удовлетворяют данному условию. В таком случае говорят, что это пустое множество, оно не содержит ни одного элемента.
Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические знаки, называемые кванторами:
Множество называется объединением (или суммой) множеств и ,если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.
Обозначается это так:
.
Свойства:
.
Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и , и , т.е. элементов, общих для этих множеств. Доказать равенство двух множеств - это значит доказать, что всякий элемент , принадлежащих правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.
Для произвольной совокупности множеств , где пробегает все элементы некоторого множества , пишут
,
если есть объединение всех множеств
Аналогично, , если − пересечение всех множеств .
Выше я привела примеры некоторых операций над множествами. Существуют также такие операции, как разность двух множеств, Декартовое произведение множеств, отображение множеств, обратные функции, взаимно однозначные соответствия и пр.
1. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума
Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о «количестве» элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые из них. множество всех чисел натурального ряда; множество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль).
О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных − нельзя. В этом случае говорят о мощности множества. Таким образом, мощность множества − это понятие, которое обобщает понятие «количество элементов» на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины «мощность множества» и «количество элементов множества» − синонимы.
Множества и называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Это обозначается так: ~. Свойства: ~; ~ ~;~,~ ~.
Если и эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.
Можно привести важный пример эквивалентности бесконечных множеств.
Утверждение 1: Множество (натуральных чисел) и множество (рациональных чисел, т.е. всех дробей ) эквивалентны.
Доказательство: достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:
Такое представление единственно. Высотой рационального числа назовем величину . Эта высота сама является натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3,… и т.д. При фиксированном существует не более различных несократимых дробей, т.к. тогда знаменатель может принимать значения 1,2,…,, а для данного числитель числа может принимать не более двух значений: . Таким образом, с данной высотой число рациональных чисел не более .
Будем нумеровать дроби в порядке возрастания ; при фиксированном в порядке возрастания , а при фиксированных и - в порядке возрастания . Тогда получим:
и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,… будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера. Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств и .
Всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.
Исходя из этого определения, можно упомянуть о некоторых теоремах:
Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.
Всякое бесконечное подмножество счетного множества тоже счетно.
Сумма конечного числа счетных множеств – тоже счетное множество.
Сумма счетного множества счетных множеств – тоже счетное множество.
Сумма конечного или счетного множества множеств, каждое из которых конечно или счетно, есть конечное или счетное множество.
Множество всех рациональных чисел счетно.
Множество всех алгебраических полиномов с рациональными коэффициентами счетно.
Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно.
Доказательство: занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном шаге, то оно конечно, иначе - счетно.
Утверждение 3. Сумма конечного или счетного числа счетных множеств счетна.
Доказательство. Проведем нумерацию элементов суммы множеств по схеме:
За шагов будут заведомо занумерованы все элементы .
Стоит обратить внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1-3, оказались равномощными, точнее счетными. Но не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1: совокупность всех подмножеств любого множества X сама образует множество, не эквивалентное X. Эта теорема (точнее, ее модификация ~) была доказана Г. Кантором (1845-1918) в 1874 г.
Доказательство: (от противного). Пусть ~. Значит имеется биективное соответствие Тогда, если , то ему однозначно соответствует . Теперь всякую точку назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т.е., если . В противном случае эту точку будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество , состоящее из всех особых точек . Тогда ясно, что является элементом множества . В силу наличия взаимно однозначного соответствия между и найдется такая точка . При этом сама точка обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда бы по определению правильной точки она принадлежала бы , что невозможно, т. к. ко множеству по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию, т. к. тогда по определению особой точки , а с другой стороны, тогда точка как особая точка должна войти в дефект по его построению.
Таким образом, предположение о существовании биекции между и во всех случаях ведет к противоречию, т. е. и не эквивалентны.
Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы справедливы в том случае, когда есть пустое множество. Тогда мощность множества равна 0, а множество состоит ровно из одного элемента, т. е. самого и поэтому мощность равна .
Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно . По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств , а значит, множество последовательностей, составленных из 0 и 1.
Прием, с помощью которого доказана теорема 1, называется канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Кантором в 1874 г. При доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве взять натуральный ряд , то получится, что множество подмножеств, т. е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно .
Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.
Утверждение 4. Множество точек отрезка имеет мощность континуума.
Доказательство: в двоичной записи каждая точка единичного отрезка может быть записана в виде
Такая запись единственна, за исключением чисел вида .А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой – все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида , установим соответствие так:
А так как множество точек вида счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.
2. Замкнутые и открытые множества
Пусть задано множество .
Точка называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что .
Предельная точка может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат