Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами

выражениями (43) и (44) на рис.10, б приведена ЛАЧХ апериодического звена. Примером апериодического звена является рассмотренная ранее емкость.

Уравнение колебательного звена:

(45)

причем Т₁ и Т₂ связаны условием

(46)

Это условие означает, что корни характеристического уравнения вида

(47)

соответствуют дифференциальному уравнению (45), являются комплексными. Передаточная функция, соответствующая уравнению (45), имеет вид

(48)

Переходная функция, являющаяся решением уравнения (45) при х = l(t), приведена на рис.11.

Амплитудно-фазовая характеристика звена (рис.12):

. (49)

Примером колебательного звена являются электрический резонансный контур (рис.13)и двухъемкостная схема (рис.14).

Если в уравнении (45) выполняется условие

, (50)

то характеристическое уравнение (47) имеет отрицательные действительные корни. В этом случае звено называется апериодическим звеном второго порядка. Все рассмотренные выше звенья называются статическими.

Уравнение интегрирующего звена:

(51)

или в интегральной форме:

(52)

Переходная функция интегрирующего звена имеет вид (рис.15, а):

; (53)

передаточная функция:

(54)

амплитудно-фазовая характеристика (рис.15, б):

(55)

Иногда применяется другая форма записи уравнения интегрирующего звена:

(56)

Примером интегрирующего звена является емкость с притоком жидкости сверху, причем расход на стоке не зависит от уровня в емкости (рис.16). Такая емкость не обладает самовыравниванием на притоке. Интегрирующее звено называется астатическим.

Уравнение дифференцирующего звена:

(57)

переходная функция:

; (58)

передаточная функция:

; (59)

амплитудно-фазовая характеристика:

, (60)

т.е. она совпадает с положительной мнимой полуосью.

Характеристики дифференцирующего звена обратны характеристикам интегрирующего звена. Идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует, но они используются при анализе сложных систем, из которых можно выделить дифференцирующие звенья.

Звено с запаздыванием без искажения воспроизводит на выходе входную величину, задерживая ее на время запаздывания t.

Уравнение такого звена имеет вид:

; (61)

передаточная функция:

; (62)

амплитудно-фазовая характеристика:

. (63)

Примерами таких звеньев являются транспортеры (рис.17), длинные трубопроводы и т.д. Если известны расстояние l и скорость движения ленты транспортера v, то запаздывание можно определить по формуле

. (64)

2.8 Характеристики систем с типовой структурой

Системы с типовой структурой образуются последовательным (рис.18, a), параллельным (рис.18, б) соединениями звеньев или соединением с обратной связью (рис.18, в). Выявление свойств типовых систем в целом связано с построением эквивалентных систем со свернутой структурой (рис.18, г). Эквивалентные системы в терминах вход-выход могут быть представлены в форме дифференциального уравнения

A_э(р)у(t) = В_э(р)f(t), (65)

передаточная функция

временная характеристика:

;

частотная характеристика

Дифференциальные уравнения системы, образованной последовательным соединением звеньев, запишутся так:

A₁(p)x₁(t) = B₁(p)f(t);

A₂(p)x₂(t) = B₂(p)x₁(t);

y(t) = x₂(t).

В результате исключения переменных х₁ и х₂ получим операторные полиномы уравнения (65):

А_э(р) = А₁(р)А₂(р); В_э(р) = В₁(р)В₂(р).

Одновременно получаем передаточную функцию эквивалентного звена:

W_э(s) =W₁(s)W₂(s). (66)

Временную характеристику – импульсную переходную функцию получаем обратным преобразованием Лапласа передаточной функции (66):

w_э(t) =.

Амплитудная частотная характеристика равна произведению соответствующих характеристик последовательно соединенных звеньев:

R_э(w) = R₁(w)R₂(w),

фазочастотная характеристика равна сумме

j_э (w) = j₁(w) + j₂(w),

ЛАЧХ системы получается в виде суммы

L_э(w) = L₁(w) + L₂(w).

На рис.19 изображен пример графического построения ЛАЧХ системы, образованной последовательным соединением интегрирующего звена W₁ и апериодического звена первого порядка W₂.

Дифференциальные уравнения системы, образованной параллельным соединением звеньев (см. рис.18, б), запишутся так:

А₁(p)x₁(t) = В₁(p)f);

А₂(p)x₂(t) = В₂(p)f(t);

y(t) = x₁(t) + x₂(t).

В результате исключения переменных x_i получим операторные полиномы эквивалентного уравнения (65):

А_э(p) = А₁(p) А₂(р);

В_э(p) = В₁(p)А₂(p) + А₁(р)В₂(р).

Передаточная функция эквивалентного звена получается как сумма передаточных функций звеньев:

W_э(s) = W₁(s) + W₂(s). (67)

Временная характеристика системы является суммой временных характеристик звеньев:

w_э(t) = w₁(t)w₂(t).

При параллельном соединении звеньев легко получить вещественную Р_э(w) и мнимую Q_э(w) частотные характеристики эквивалентного звена:

Р_э(w) = Р₁(w) + Р₂(w); Q_э(w) = Q₁(w) + Q₂(w).

Диполь передаточной функции W_э(s) получается:

· если одна из передаточных функций звеньев имеет диполь;

· звенья имеют одинаковые полюсы А₁(s_i) = A₂(s_i) = 0.

Дифференциальные уравнения типового соединения с обратной связью:

А₁(p)x₁(t) = В₁(p)x₃(t);

А₂(p)x₂(t) = В₂(p) x₁(t);

x₃(t) = f(t) x₂(t);

y(t) = x₁(t),

где знак «минус» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «плюс» – положительной.

Исключение внутренних переменных дает операторные полиномы дифференциального уравнения эквивалентного звена:

А_э(p) = А₁(p)А₂(р) B₁(p)B₂(р);

В_э(p) = В₁(p)А₂(p). (68)

Передаточная функция эквивалентного звена:

W_э(s) = . (69)

Если звенья образуют контур положительной обратной связи, то в формулах (69), (69) используется знак «минус».

Временная характеристика системы с обратной связью w_э(t) сложным образом зависит от w₁(t) и w_э(t), поэтому ее удобнее получать обратным преобразованием Лапласа эквивалентной передаточной функции:

w_э(t) =.

Комплексная частотная характеристика системы с обратной связью также сложным образом зависит от частотных характеристик звеньев:

W_э(jw) = . (70)

Свойства системы с обратной связью определяются усилением разомкнутого контура с передаточной функцией W_p(s) = W₁(s) + W₂(s) на различных частотах. Если усиление контура мало, то можно пренебречь обратной связью. Действительно, по виду выражения (44) можно заключить, что на частотах, где выполняется условие

= << 1

имеет место приближенное соотношение

W_э(jw) » W₁(jw).

Практически усиление контура считается малым, если

L_р(w) = < – (16-20) дБ.

С другой стороны, на частотах, где выполняется условие

>> 1,

имеет место другое приближенное соотношение

W_э(jw) » .

Система в целом имеет частотную характеристику, близкую к обратной частотной характеристике звена обратной связи. Практически усиление велико, если L_р(w) > 16-20 дБ. На остальных частотах, где -16 дБ < L_P(w) < 16 дБ, необходимо пользоваться точной формулой (70) или специальными номограммами замыкания.

Рассмотрим пример системы, образованной интегрирующим звеном, охваченным единичной отрицательной обратной связью (рис.20, а). На рис.20, б изображены ЛАЧХ L₁ и L₂ этих звеньев. На частотах w < 0,1 с^-1 усиление контура превышает 20 дБ.

Следовательно, амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы на этих частотах определяется только свойствами звена обратной связи, т.е. замкнутая система на низких частотах с большой степенью приближения ведет себя как безынерционное звено с единичным усилением.

Напротив, на частотах w > 10 с^-1 усиление контура ниже –20 дБ. Здесь контур практически разомкнут – замкнутая система ведет себя как интегрирующее звено,

W_э(s) =.

На комплексной частоте нуля передаточной

функции W_p усиление контура равно нулю, т.е. контур как бы разомкнут на соответствующей комплексной частоте. Если W_p имеет такой полюс, то в разложении W_p на сумму простейших дробей соответствующий коэффициент С_i равен нулю.

На рис.21 изображена структурная схема системы с единичной обратной связью, где звено в прямой цепи

W₁(s) = W_p(s)

представлено как параллельное соединение простейших звеньев.

2.9 Неопределенность моделей систем управления

Математические модели не отражают исчерпывающим образом динамические свойства систем управления в силу идеализации и упрощений, неизбежных при моделировании, неточной реализации алгоритмов управления и изменений характеристик объектов и других элементов в процессе эксплуатации. Если изменения характеристик происходят достаточно медленно по сравнению с длительностью процессов управления, то вместо нестационарных моделей (например, дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами) можно рассматривать стационарные модели.

Модели систем управления строятся для строго оговоренных условий взаимодействия со средой, и их адекватность оригиналам определяется и характеристиками воздействий. Значения параметров, структура и класс операторов зависят от амплитуд изменения и частотного спектра сигналов.

Линейные модели обычно строят для малых отклонений переменных от выбранных установившихся режимов. Если амплитуды сигналов превышают некоторое определенное значение А, то приходится строить нелинейные модели, как правило, учитывающие всевозможные ограничения в реальных элементах. Иногда область адекватности линейных моделей ограничивается малыми амплитудами а, для которых следует учитывать такие нелинейные явления, как зону нечувствительности, сухое трение и др.

Выбранные структуры операторов (порядки дифференциальных уравнений) обеспечивают адекватность моделей по отношению к сигналам, частоты которых не превышают заданного предела. Границу области адекватности W обычно удается несколько расширить путем усложнения структуры операторов. На рис.22 показана область адекватности моделей на плоскости амплитуд а и частот w сигналов.

Таким образом, модели систем управления оказываются не полностью определенными. При интерпретации результатов анализа и синтеза необходимо всегда иметь в виду неполную определенность моделей и учитывать ограниченность области их адекватности. Анализ наряду с выявлением основных свойств поведения систем управления должен включать и исследование чувствительности характеристик к вариациям параметров, структур операторов и топологии систем.

3. Нелинейные элементы систем управления

3.1 Безынерционные нелинейные элементы

В теории и практике управления элементы и системы рассматривают как преобразователи сигналов – носителей информации о цели, состоянии объекта и воздействиях среды (рис.23). Как известно, линейный безынерционный элемент полностью задается значением его коэффициента усиления.

Нелинейные зависимости между постоянными значениями входных и выходных сигналов у = Р'(х) могут задаваться аналитически, графически или таблично. В том случае, когда нелинейный элемент (НЭ) имеет один вход и один выход, особенно наглядны графики статических характеристик (СХ) (рис.24).

Условия преобразования сигналов безынерционными НЭ зависят от уровней сигналов и не зависят от их частоты. Приведем некоторые примеры безынерционных НЭ и их СХ.

Рассмотрим нелинейные элементы с кусочно-постоянными СХ. Простейшим представителем нелинейностей этой группы является так называемое идеальное реле (рис.25, а):

Более тонкое изучение может показать, что релейное устройство имеет гистерезис (рис.25, б). Выражение для двузначной СХ с разрывами первого рода можно записать так:

где b – половина зоны неоднозначности СХ; y₀ – состояние реле, равное значению у до входа в зону неоднозначности. Таким образом, этот безынерционный НЭ обладает памятью: значение его выхода определяется не только значением входа в тот же момент, но также и предысторией (состоянием) НЭ по уровню сигнала.

Другим типом НЭ с кусочно-постоянной однозначной СХ является квантование сигналов по уровню в преобразователях аналог-код, предназначенных для ввода информации о состоянии непрерывных процессов в цифровые управляющие устройства (рис.25, в). Малая разрядность ЭВМ может оказаться существенным препятствием к достижению высокой точности и хорошего качества процессов в окрестности положений равновесия.

Теперь обратимся к нелинейным элементам с кусочно-линейными СХ. На рис.26, а показан график СХ НЭ типа «насыщение»:

Как правило, эта нелинейность вводится в модели для учета ограничений уровней переменных при исследовании поведения систем управления в режимах больших отклонений от положения равновесия.

Нелинейный элемент типа «зона нечувствительности» (рис.26, б) учитывает реальные свойства датчиков, исполнительных механизмов и других устройств при малых входных сигналах.

Нелинейность типа «люфт» (рис.26, в) является многозначной – одному значению входа соответствует бесчисленное множество (континуум) значений выхода. Этот НЭ моделирует кинематические сочленения механических приборов и устройств (например, редукторов).

Приведенные кусочно-линейные СХ непрерывны, но имеют разрыв производной dy/dx. Существуют и кусочно-линейные СХ с разрывами первого рода.

Рассмотрим нелинейные элементы с гладкими СХ. Гладкие СХ имеют непрерывные производные. Таковыми являются характеристики термопары (рис.27, а), устройства возведения входного сигнала в квадрат (рис.27, б), в куб (рис.27, в), индукционных электромеханических преобразователей угла, электромагнитных явлений с гистерезисом и др.

Нелинейные зависимости между значениями входа и выхода можно задавать параметрически – парой функций x(t), y(t); исключая параметр t, получим непосредственную связь между переменными входа и выхода. В случае однозначных СХ в качестве входа x(t) особенно удобен периодический сигнал треугольной формы с достаточной амплитудой, выход НЭ будет периодически повторять форму СХ. Для сложных НЭ с неоднозначными СХ выбор функции x(t) из условия исчерпывающего задания НЭ парой вход-выход является нетривиальной задачей. По существу, речь идет об экспериментальном исследовании НЭ, успех которого зависит от априорной информации.

3.2 Динамические нелинейные элементы

В общем случае дифференциальные уравнения, описывающие элементы систем или сами системы, являются нелинейными:

(71)

Иногда они разрешаются относительно старшей производной переменной выхода:

(72)

Примерами служат дифференциальные уравнения математического маятника и уравнение Ван дер Поля:

Часто дифференциальные уравнения представляются в форме Коши:

(73)

где n – вектор переменных состояния; j – вектор-функция; y – функция выхода. В уравнениях (71)-(73) предполагается, что нелинейные функции заданы аналитически.

Временная характеристика динамического линейного элемента – функция веса w(t) позволяет связывать переменные входа и выхода с помощью интеграла свертки. В линейных динамических элементах условия преобразования сигналов определялись лишь частотным спектром сигнала и не зависели от его уровня. Преобразование сигналов динамическими НЭ в значительной степени зависит как от уровней сигналов, так и от их частотных спектров.

3.3 Нелинейные модели с раскрытой структурой

Во многих случаях нелинейные модели появляются в результате дополнения линейных моделей нелинейными элементами, учитывающими такие естественные факторы, как ограниченность управляющих воздействий, наличие зоны нечувствительности в измерительных и исполнительных элементах, люфтов в кинематических сочленениях или искусственное введение нелинейностей в алгоритмы управления для получения свойств, недостижимых в линейных системах.

Простейший пример такой модели – нелинейный интегратор dy/dt = F(x) структурно изображается как последовательное соединение безынерционного НЭ и линейного интегрирующего звена (рис.28). На рис.29, а изображен другой пример – модель системы с обратной связью в форме структурной схемы, а на рис.29, б та же модель представлена в форме сигнального графа, одна из дуг которой помечена двумя штрихами, указывающими на нелинейный характер преобразования сигнала.

В этих примерах разделены динамическая линейная часть и безынерционная нелинейность: нелинейные эффекты сосредоточены в безынерционном, а динамические – в линейном элементах.

4. Примеры математических моделей объектов горной электромеханики

Модель асинхронного электропривода резания угледобывающего комбайна

Уравнение моментов:

где

J_эд – момент инерции ротора и приведенных к нему вращающихся частей; w – угловая частота тока в сети; s – скольжение двигателя; p – число пар полюсов электродвигателя; Q_т – теоретическая производительность гидронасоса; P_о – давление в гидросистеме; w_н – угловая скорость насоса (равная угловой скорости электродвигателя); М_о – момент резания при толщине срезаемой стружки h = 0; аў – коэффициент, зависящий от крепости разрушаемого угля.

Скольжение двигателя для устойчивой части механической характеристики приближенно можно определить по формуле

где s_к, М_к – соответственно критическое скольжение и критический момент электродвигателя.

Окончательно получим

где

;

Модель системы регулирования нагрузки на электропривод угледобывающего комбайна в зависимости от скорости подачи

Уравнение относительно момента сил сопротивления резанию в направлении подачи имеет вид:

где t – время пробега резцом расстояния между соседними резцами одной линии резания; – скорость подачи резца.

Модель управления скоростью вращения вала электродвигателя постоянного тока шахтной подъемной установки

Уравнение относительно скорости вращения W:

где Т_эд = L/R – электромагнитная постоянная двигателя; Т_м = JR/c_ec_м – электромеханическая постоянная двигателя; k_д = 1/с_e – коэффициент усиления двигателя по управляющему воздействию; = R/c_ec_м – коэффициент усиления двигателя по нагрузке; U_вх – напряжение якоря электродвигателя; W – частота вращения ротора; М_с – момент нагрузки на валу электродвигателя.

Передаточная функция по нагрузке (возмущению):

Заключение

Достоверную математическую модель объекта можно найти аналитическим путем. Для этого необходимо располагать всесторонними сведениями об объекте (конструкции, законах, описывающих протекающие в нем процессы, условиях функционирования и взаимодействия со средой). Однако часто из-за отсутствия достаточных данных получить решение задачи таким путем не удается. Трудности применения аналитических методов возникают и при описании реальных объектов, процессы в которых имеют сложный характер. Поэтому в подобных случаях эти методы дополняются экспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей, полученных теоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющий рассматривать поведение объектов в различных возможных режимах.

С практической точки зрения, более привлекательны экспериментальные методы, позволяющие находить модели объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных. Хотя эти методы также предполагают наличие априорных сведений об изучаемом объекте, но их характер может быть не столь обстоятельным. Как правило, уровень априорных сведений должен быть достаточным лишь для выбора структуры модели и условий проведения эксперимента. Построение моделей объектов на основе такого подхода обычно называют идентификацией.

Рекомендательный библиографический список

Алексеев А.А. Теория управления: Учебное пособие / А.А.Алексеев, Д.Х.Имаев, Н.Н.Кузьмин, В.Б.Яковлев; СПбГЭТУ, СПб, 1999. 435с.

Борисов Б.М., Математические модели и расчет систем управления техническими объектами: Учебное пособие / Б.М.Борисов, Н.В.Пальянова, В.И.Экгардт; СПГГИ, СПб, 1999. 45с.

Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования: Справочник // Под редакцией А.С.Клюева. М.: Энергоатомиздат, 1989. 368с.

Толпежников Л.И. Автоматическое управление процессами шахт и рудников: Учебник для вузов. М.: Недра, 1985. 352с.

Содержание

Введение

1. Математическое моделирование систем управления

1.1 Операторы преобразования переменных

1.2 Классы моделей

1.3 Способы построения моделей

1.4 Особенности структурных моделей систем управления

2. Линейные модели и характеристики систем управления

2.1 Модели вход-выход

2.2 Построение временных характеристик

2.3 Построение частотных характеристик

2.4 Построение моделей по системе дифференциальных уравнений

2.5 Построение моделей вход-выход по уравнениям в форме пространства состояний

2.6 Модели систем управления с раскрытой причинно-следственной структурой

2.7 Типовые звенья автоматических систем управления

2.8 Характеристики систем с типовой структурой

2.9 Неопределенность моделей систем управления

3. Нелинейные элементы систем управления

3.1 Безынерционные нелинейные элементы

3.2 Динамические нелинейные элементы

3.3 Нелинейные модели с раскрытой структурой

4. Примеры математических моделей объектов горной электромеханики

Заключение