Xreferat.com » Рефераты по математике » Шпаргалка по высшей математике

Шпаргалка по высшей математике

-для любого, для каждого -для любого, для каждого -для любого, для каждого

-векторное умножение, -скалярное умножение -векторное умножение, -скалярное умножение -векторное умножение, -скалярное умножение

1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель- число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу Сарруса. Правило Сарруса: определитель 3-го порядка (3) равен алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со знаком «-».

2. Свойства определителей.

1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не изменяется: А = А’ . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и этой матрицы умножится на это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её равен 0. 7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.

3. Минор.

Минором Мij квадратной матрицы n-го порядка для элемента аij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

4. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением Аij для элемента квадратной матрицы аij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j .

5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n-ого порядка.

Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1)r(j), где r(j)-число инверсий). Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

6. Матрицы. Основные определения.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n-ого порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей.

7. Операции над матрицами.

1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число называется матрица В, равная А, каждый элемент которой находится по формуле: bij = x aij. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле Сij=aij+bij. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы Аm называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет; транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной, если её определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм: 1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А (на месте каждого эл-та Ат его алгебраич.доп-я). 5) А-1= 1/А . 6) ПроверкаА-1 А=Е.

9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы rang A=r(A). Ранг матрицы не изменяется при проведении элементарных преобразований. Преобразования: 1)отбрасывание строки или столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не равное 0; 5) транспонирование матрицы.

10. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения. Матричная форма записи.

Линейным ур-ем относительно неизвестных x1,x2,…,xn называется выражение вида a1x1+a2x2+…+anxn=b, где a1,a2,…,an и b- простые числа, причём a1,a1,…,an называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Последовательность чисел k1,k2,…,kn называется решением ур-я, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное равенство. Два линейных ур-я называются равносильными, если их решения совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число, отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения или установить, что их нет. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений множество. Неизвестное x1 называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я системы неизвестное x1 не входит. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными. Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше, чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей.

11. Правило Крамера.

Правило Крамера: пусть А-определитель матрицы системы, а j-определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец свободных коэффициентов; тогда, если А0, то система имеет единственное решение, определяемое по формуле Xj= j/ A.

12. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.

Метод Гаусса: каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX1+OX2+...+OXn=b. Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестное x1 называют разрешённым, если к.-н. ур-е системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все другие ур-я системы неизвестное x1 не входит.

14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Алгоритм: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А-1); 3) Умножить А-1 на матрицу свободных коэффициентов (В) X=A-1B.

15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е12е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еkлюбая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.


1 (16). Скалярные и векторные величины. Основные определения.

В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами вектора а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор ax2+y2(+z2). Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается 0. ( направление 0 произвольно, не определено). Для каждого а, отличного от 0, существует противоположный -а, который имеет модуль, равный а, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора а ив называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.

2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

1)Сложение 2-х векторов: (правило треугольников) суммой 2-х векторов а ив называют вектор с =а +в, начало которого совпадает с началом а, а конец- с концом в при условии, что начало в совпадает с концома. 2) Сложение нескольких векторов: (правило многоугольника) сумма 4-х векторов а,в,с,d есть векторе =а +в +с +d, начало которого совпадает с началом а, а конец- с концомd. (правило параллелепипеда) сумма 3-х векторов а,в,с определяется как d =а +в +с. 3)Вычитание 2-х векторов: разностью 2-х векторов а и в называется сумма а и -в (противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых вектора:  = x +y, i=xi + yi i. 5) Произведением x на действительное число а называется в = аx, каждая компонента которого равна аxi. Cвойства лин. операций над векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное св-во суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового множителя:   ; 4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что   ; 6)для любого  существует такой противоположный - , что ; 7)для любого  справедливо: .

3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде x=(x1,x2,xi,xn), где Xi-компонента X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: x =y, если xi=yi i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством. Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора а ив называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.

4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.

7 (22). Проекция вектора а на вектор b. Направляющие косинусы вектора.

8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением 2-х векторов а ив называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а ва в Cos, где -угола междув. Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: а в =а  пр.а в =в пр.в а скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения: 1)Переместительное (ав=в а); 2)Сочетательное относительно числового множителя ((а в)=а в); 3)Распорядительное ( (а +в )с=а с вс); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы перпендикулярны. Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля.

9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.

10 (25). Определение угла между двумя векторами.

11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.

12 (27). Векторное произведение.

Векторным произведением вектора а на вектор в называется вектор с, который определяется следующим образом: 1) модуль с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах с=ав Sin. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки. Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по формуле: а в = i j k

ax ay az

bx by bz.

13 (28). Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: а в =в) а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: ававав. 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). Для того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору.

14 (29). Векторное произведение ортов.


15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения.

Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: (а в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на с скалярно. (а в) с. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным. Оно представляет собой некоторое число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. Смешанное произведение равно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов.


Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. (а в) с = - (в а) с; (а в) с = с (а в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: (а в) с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными. Геометрич. смысл смешанного произведения: состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины. Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой, которая называется ордината. Координата на горизонтальной оси называется абсцисса. Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки плоскости упорядоченную пару действительных чисел – координаты этой точки. Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе

Похожие рефераты: