Xreferat.com » Рефераты по математике » Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.

1.Постановка задачи

В дипломной работе рассматривается задача:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области(З)

0Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областиКраевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области.

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области , и исследовать полученную оценку при Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

2. Оценочный анализ решения задачи.

Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : “Всякое решение уравнения Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области в прямоугольнике Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области , непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах” [2].

2.1. Оценка решения сверху.

В области t=t , x=Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области рассмотрим решение задачи :

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области, V(0,x) = Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области( x ), Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области , (1)

это решение имеет вид [1]:

v (t, x) = Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области. (2)

Зафиксируем некоторое Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областии перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x=Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области будет выглядеть так:

V(t, x) = Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области (2’)

Из принципа максимума [2] заключаем, что:

U( t, x ) Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области V( t, x ). (3)

Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).

2.2. Оценка решения в виде интеграла

Разобьем интервал Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области< x Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областиКраевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области на две части Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областии Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области, тогда интеграл (2’) запишется в виде:

V( t, x ) = Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области. (*)

Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области ; (а)

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области ;

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области ;

где Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области .

После проведенного исследования видно, что

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Использовав известное разложение Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области,

где Z Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области0, Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:

(а) Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области;

(б) Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области.

В результате получим :

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Здесь:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области, Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области , (4.1)

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области, Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области. (4.2)

Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:

m=1,

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

U(t, x) Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области . (5)

Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к .Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областификсированно)

Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

пусть Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

(т.е. Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областифинитна), в соответствии с принципом максимума:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области , (3’)

при Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Аналогично, как и выше

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

здесь:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Таким образом,

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

(используем разложение в ряд Тейлора)

В итоге,

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области (5.1)

Рассмотрим два случая:

а) Пусть Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области,

тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области,

поэтому (5.1) можно переписать как:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области (5.2)

б) Пусть Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областитогда:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

где Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области

В результате получаем:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области (5.3)

2.3. Выбор интервала (Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области ) и оценка погрешности

Зададим произвольно некоторую константу Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области>0, потребовав чтобы в (5)

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области<Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области.

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области при Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области.

Неравенство (5) можно только усилить, если

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области< Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области (6)

Рассмотрим общий вид Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области ; (7)

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной областиКраевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области , (7.1)

b=x ( k=1 ) , b=2Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области(k=2) Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области оценка (7.1) эквивалентна системе неравенств:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области ,

откуда:

Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области.

Похожие рефераты: