Xreferat.com » Рефераты по математике » Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

А. И. Иванов, Л. П. Казанцева

Работа выполнена в предвидении изменения срока и содержания обучения в средней школе. В работе предлагается включить в программу обучения теорему вириала, что будет способствовать усилению связи в преподавании физики и астрономии, генерализации естественнонаучных знаний на основе общих закономерностей. Авторы приглашают к обсуждению целесообразности и возможности включения излагаемого фрагмента в содержание обучения физике и астрономии.

1. Теорема вириала утверждает, что для системы взаимодействующих частиц, находящихся в состоянии динамического равновесия, в том случае, когда все силы, действующие на частицы, являются внутренними по отношению к системе и обратно пропорциональны квадрату расстояния, средняя кинетическая энергия частиц равна половине среднего значения потенциальной энергии системы взаимодействующих тел, взятой с обратным знаком [1], т.е. выполняется равенство

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии. . . . . . . . . . (1)

Потенциальная энергия взаимодействия тел в гравитационном поле также, как энергия взаимодействия электрических зарядов, является отрицательной [2], в отличие от кинетической, которая является всегда величиной положительной.

Строгое доказательство теоремы вириала достаточно сложно и связано с анализом дифференциальных уравнений, поэтому в условиях средней школы приходится иллюстрировать её на простых примерах.

Пусть искусственный спутник массой m движется со скоростью Теорема вириала в преподавании физики и астрономиипо замкнутой траектории на среднем расстоянии Теорема вириала в преподавании физики и астрономииот центра Земли, имеющей массу Теорема вириала в преподавании физики и астрономии. Кинетическая энергия спутника равна

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии,

а его потенциальная энергия

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии= - Теорема вириала в преподавании физики и астрономии,

где Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии- гравитационная постоянная.

При движении спутника в гравитационном поле Земли на него действует центростремительная сила

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Центростремительной силой, удерживающей спутник около Земли, является сила тяготения, обусловленная гравитационным взаимодействием между Землёй и спутником. По абсолютной величине она равна:

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Следовательно, имеет место равенство

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии . . . . . . . . . . . .(2)

Умножив обе части этого равенства на Теорема вириала в преподавании физики и астрономии, получим

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии. . . . . . . . . . . (3)

Таким образом, для энергетического состояния системы "Земля - спутник" справедлива теорема вириала.

В работе [3] применена теорема вириала при исследовании энергетического состояния лёгких атомов и их ионов. Результаты вычисления при этом хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2. "Висячий" спутник Земли.

Для осуществления устойчивой межконтинентальной радио- и телевизионной связи в настоящее время широко используется искусственный спутник Земли.

Поставим себе задачу: на какую высоту Теорема вириала в преподавании физики и астрономииследует "забросить" над экватором искусственный спутник Земли, чтобы он неподвижно висел для наблюдателя, находящегося на Земле? Конечно, в этом случае спутник и точка его запуска на экваторе должны двигаться в пространстве с одинаковой угловой скоростью.

Теорема вириала в этом случае будет иметь вид

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии,

где: m - масса спутника,

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии- масса Земли, равная Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии- гравитационная постоянная Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии- расстояние от центра Земли до спутника,

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии- экваториальный радиус Земли, равный 6378 км.

Из теоремы вириала следует

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииvТеорема вириала в преподавании физики и астрономии

При этом vТеорема вириала в преподавании физики и астрономии- квадрат линейной скорости спутника.

Следовательно,

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Подставив в полученную формулу числовые значения величин, получим

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Расстояние Теорема вириала в преподавании физики и астрономииот поверхности Земли до спутника оказывается равным

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии

На такую высоту надо поднять искусственный спутник над экватором. Это расстояние велико, но много меньше расстояния от Земли до Луны. Поэтому силой гравитационного взаимодействия между спутником и Луной можно пренебречь по сравнению с силой взаимодействия между спутником и Землёй. Следовательно, система Земля и её искусственный спутник представляет собой замкнутую систему и применение к ней теоремы вириала допустимо.

Представляет не меньший интерес определение положения искусственного спутника над любой точкой поверхности Земного шара. Подобные задачи можно предложить учащимся для самостоятельного решения и сравнения с действительными данными, что будет содействовать развитию творческих способностей обучаемых.

3. Применение теоремы вириала к анализу энергетического состояния звёзд. В современном понимании учёных-физиков звезда представляет собой громадный газовый шар. Под действием гравитационных сил взаимодействия газ уплотняется, температура его при этом увеличивается, и вследствие этого роста увеличивается кинетическая энергия частиц. Электроны атома отрываются от поля ядра, образуются свободные электроны и ионы водорода [4]. Некоторая часть протонов объединяется по четыре, образуя ионы гелия. Молекулярная масса иона водорода равна 0,5 атомных единиц, а для иона гелия она равна 2. С.А. Каплан считает [5] обоснованным предположение, что в звёздных образованиях в средней ступени эволюции, в которой находится в настоящее время наше Солнце, среднее значение молекулярной массы частиц равно 0,6 или, что то же самое, Теорема вириала в преподавании физики и астрономииатомных единиц. Следовательно, среднее значение потенциальной энергии так называемой водородной или "холодной" звезды оказывается равным

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии. . . . . . . . . . . . (4)

Из курса физики учащимся известно, что кинетическая энергия частицы газового шара равна

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии, . . . . . . . . . . . . (5)

где Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии- постоянная Больцмана.

Число всех частиц звёздного вещества (электронов и ионов) обозначим символом Теорема вириала в преподавании физики и астрономии. Тогда, считая плотность звёздного вещества одинаковой по всему объёму, кинетическую энергию частиц звёздного образования выразим следующим образом:

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии . . . . . . . . . . .(6)

Подставив известные значения потенциальной и кинетической энергий в формулу теоремы вириала, получим зависимость между радиусом и температурой звезды

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии

Отсюда легко видеть, что при неизменной массе уменьшение радиуса звезды сопровождается соответствующим увеличением её температуры.

Для удобства пользования полученной формулой в дальнейшем введём среднее расстояние Теорема вириала в преподавании физики и астрономиимежду соседними частицами из условия, что каждая пара частиц (протон и электрон) находится внутри сферы диаметра Теорема вириала в преподавании физики и астрономии. Тогда объём звезды определяется формулой

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии,

отсюда радиус звезды оказывается равным

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии.Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Положив далее для массы звезды

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииmТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии mТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии mТеорема вириала в преподавании физики и астрономии

(поскольку масса протона mТеорема вириала в преподавании физики и астрономии много больше массы электрона mТеорема вириала в преподавании физики и астрономии), теорему вириала можно привести к виду

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

или

Теорема вириала в преподавании физики и астрономии=Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Эволюция "холодной" звезды. Полученный результат полезно использовать для описания пути звёздной эволюции. Вначале, когда звезда только формируется из конденсирующего водородного облака, расстояние между частицами Теорема вириала в преподавании физики и астрономииочень велико, а температура Теорема вириала в преподавании физики и астрономии- очень низка. По мере того, как это облако под действием сил гравитационного притяжения частиц сжимается, Теорема вириала в преподавании физики и астрономииуменьшается, а температура Теорема вириала в преподавании физики и астрономиивозрастает. При этом энергия частиц увеличивается, вследствие чего звезда начинает сильно излучать.

Следует при этом обратить внимание на то, что уменьшение расстояния Теорема вириала в преподавании физики и астрономиимежду взаимодействующими частицами сопровождается уменьшением их потенциальной энергии гравитационного взаимодействия (от нуля в сторону отрицательных значений). Следовательно, здесь имеет место переход потенциальной энергии гравитационного притяжения в кинетическую энергию частиц и частично в энергию излучения.

Итак, путём элементарных рассуждений мы проследили эволюцию "холодной" звезды. Но ясно, что такой процесс не может продолжаться до бесконечности. Предел этому процессу ставит предел сжимаемости вещества, в свою очередь объяснимый конечностью размеров протона и электрона. Минимальное возможное расстояние между частицами звёздного вещества имеет порядок радиуса протона.

Мысль о том, что протон, электрон и нейтрон суть твёрдые непроницаемые шарики, конечно, ошибочная. Но в рамках современной теории и эксперимента, которые использует квантовая механика, электрон, протон и нейтрон в самом деле ведут себя так, словно обладают некоторым радиусом. Однако этот радиус зависит от импульса частицы и, следовательно, от её кинетической энергии. Чем выше импульс, тем меньше тот радиус, за которым частица становится как бы непроницаемой. Применяя эти соображения к протонам и электронам, можно принять минимальный диаметр элементарной сферы, внутри которой может находиться пара частиц (протон и электрон), равным учетверённому радиусу протона:

Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии.

Минимальная масса звёзд. Звёзды излучают энергию в виде электромагнитных волн миллиарды лет. Этот процесс поддерживается термоядерными реакциями, которые выделяют энергию, достаточную для того, чтобы непрерывно пополнять (компенсировать) потерю энергии вследствие излучения. Но чтобы внутри звезды могли идти термоядерные реакции, необходимо, чтобы энергия реагирующих частиц составляла по порядку величины не менее 0,1 Мэв, что соответствует средней температуре звезды порядка Теорема вириала в преподавании физики и астрономииТеорема вириала в преподавании физики и астрономии.

Имея в виду это обстоятельство, можно легко подсчитать, какова должна быть минимальная масса Теорема вириала в преподавании физики и астрономии

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
-->

Похожие рефераты: