Xreferat.com » Рефераты по математике » Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Размещено на /

1)Дифференциальное уравнение. Общее решение. Частное решение. Задача Коши

Диф.ур-м наз-ся ур-е, связывающее независим.перем. х сикомую ф-ию у, и ее производные.

Решение дифференциальных уравнений.

Решение дифференциальных уравнений. => ОДУ

Решение дифференциальных уравнений.

Общим решением ОДУ первого порядка назся ф-ия Решение дифференциальных уравнений, удовл.след.условиям:

1)Решение дифференциальных уравнений явл.решением ур-я Решение дифференциальных уравнений при Решение дифференциальных уравнений

2)Решение дифференциальных уравнений ∃ такое значение произв.пост. Решение дифференциальных уравнений, при котором Решение дифференциальных уравнений удовл.данному нач.условию. Решение дифференциальных уравнений-общий интеграл

Частн.решением обыкн.диф.ур-я первого порядка наз-ся ф-ияРешение дифференциальных уравнений кот.получ.из общего решения Решение дифференциальных уравнений) при конкретном значении с.

Задача Коши- задача нахождения обыкнов. диф.ур-я удовлет. начальному условию Решение дифференциальных уравнений2)Уравнение с разделяющимися переменными.

Наз-ся обыкновенное уравнеие1 порядка, кот.прив.к виду: Решение дифференциальных уравнений

К ним относ. диф.ур.вида:

1)Решение дифференциальных уравнений 2) Решение дифференциальных уравнений умножим на Решение дифференциальных уравнений =>

Решение дифференциальных уравнений.- ур-е с раздел.перем.

3)Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

Ф-ия Решение дифференциальных уравненийназ-ся однород.ф-ей Решение дифференциальных уравнений порядка или n-ой измерениями относительно переемРешение дифференциальных уравнений если при Решение дифференциальных уравнений.

Решение дифференциальных уравнений. аргументом явл.дробь.

4)Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Решение дифференциальных уравнений.Ур-е наз-ся ур-ем в полных диф.если сущ-ет такоя ф-ия


Решение дифференциальных уравнений.


5)Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

ДУ 1 порядка наз-ся линейным, если его можно записать в виде Решение дифференциальных уравнений – заданные ф-ии, в частности – постоянные.

а)Метод Бернулли

Решение ур-яРешение дифференциальных уравненийищется в виде произведения двух других ф-ий, т.е. сРер помощью подстановки Решение дифференциальных уравнений – неизвестные ф-ии х, причем одна из них произвольна (но ≠0) – днйствительно любую ф-ию у(х) можно записать как:

Решение дифференциальных уравнений, Решение дифференциальных уравнений).Тогда Решение дифференциальных уравненийПодставляя выражение у и у’ в Решение дифференциальных уравнений получаем: Решение дифференциальных уравнений Подберем ф-ю Решение дифференциальных уравнений так что бы

Решение дифференциальных уравнений. Итак, Решение дифференциальных уравнений, интегрируя получаем:

Решение дифференциальных уравнений Ввиду свободы выбора ф-ии Решение дифференциальных уравнений можно принять с=1=> v=Решение дифференциальных уравнений

Подставляя найденную ф-ию в ур-е Решение дифференциальных уравнений получаем: Решение дифференциальных уравнений.

Получено уравнение с раздел.перем.Решаем его: Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений.

Возвращаясь к переменной у, получеам решение исходного ДУ Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений.сходного ДУ переменной у, получаем решение го поля. Нахождение потенциала по заданному примеру.

б)Метод Лагранжа

Рассмотрим однородное уравнение Решение дифференциальных уравнений. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение: Решение дифференциальных уравнений

Решения исходного уравнения будем искать в виде:Решение дифференциальных уравнений

Подставив полученное решение в исходное уравнение: Решение дифференциальных уравнений, получаем: cРешение дифференциальных уравненийгде c1 — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки c(x) в решение однородного уравнения: Решение дифференциальных уравнений.

6)Уравнение Бернулли

Ур-е вида Решение дифференциальных уравнений

Если n=0, то ДУ – линейное, а при n=1 – с раздел.переменными.

Данное ур-е решается двумя способами:

Первый способ

Заменой

Решение дифференциальных уравнений, уравнение приводится к линейному Решение дифференциальных уравнений и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим Решение дифференциальных уравнений.

Тогда Решение дифференциальных уравнений.

Подберем Решение дифференциальных уравнений так, чтобы было

Решение дифференциальных уравнений.

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.

После этого для определения Решение дифференциальных уравнений получаем уравнение

Решение дифференциальных уравнений- уравнение с разделяющимися переменными.

7)Уравнение неразрешенное относительно Решение дифференциальных уравнений Метод введения параметра

Решение дифференциальных уравнений – относительно производной Решение дифференциальных уравнений

a)Решение дифференциальных уравнений

б)Решение дифференциальных уравнений

в)Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений.

Решение дифференциальных уравнений где �� и �� известные ф-ии от Решение дифференциальных уравнений наз-ся ур-ем Лагранжа.

Введем вспомогат.параметр, положив у’=p. Тогда ур-е Решение дифференциальных уравнений примет вид: у=��(p)+��(p). Дифференц.по х, получим:

Решение дифференциальных уравнений, т.е. Решение дифференциальных уравнений или Решение дифференциальных уравнений- линейное ур-е относит.неизвестной Решение дифференциальных уравнений, решив его найдем: Решение дифференциальных уравнений. Исключая параметр р из Решение дифференциальных уравнений и Решение дифференциальных уравнений получаем общий интеграл ур-я Решение дифференциальных уравнений в виде Решение дифференциальных уравнений. При делении на Решение дифференциальных уравнений могли быть потеря решения, для которых Решение дифференциальных уравнений,т.е. Решение дифференциальных уравнений. Это значение Решение дифференциальных уравнений явл.корнем ур-я Решение дифференциальных уравнений. Решение Решение дифференциальных уравнений явл.особым для ур-я Решение дифференциальных уравнений

г)Уравнение Клеро

Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при Решение дифференциальных уравненийУравнение принимает вид

Решение дифференциальных уравнений

и называется урaвнeниeм Клеро. Положив Решение дифференциальных уравнений, получаем:

Решение дифференциальных уравнений.

Дифференцируя по х, имеем: Решение дифференциальных уравнений или Решение дифференциальных уравнений.

Если Решение дифференциальных уравнений, то Решение дифференциальных уравнений. Поэтому, с учетом Решение дифференциальных уравнений, ДУ Решение дифференциальных уравнений имеет общее решение Решение дифференциальных уравнений.

ЕслиРешение дифференциальных уравнений, получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Решение дифференциальных уравнений.

Это решение - особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

8)Особое решение

9)Линейное уравнение n-го порядка. Запись с помощью L. Свойства

Решение дифференциальных уравнений,Решение дифференциальных уравнений.

Решение дифференциальных уравнений.

Если коэф.Решение дифференциальных уравнений непрер.,то т.осущ.и един.доказана.

Линейный диф.оператор(ЛДО): Решение дифференциальных уравнений, то Решение дифференциальных уравнений

Св-ва:

1)Решение дифференциальных уравнений; 2)Решение дифференциальных уравнений; 3) Решение дифференциальных уравнений.

10)Линейная независимость функции. Определитель Вронского. Теорема линейной зависимости.

Функции Решение дифференциальных уравнений называются линейно независимыми на интервале Решение дифференциальных уравнений если равенство Решение дифференциальных уравнений, где Решение дифференциальных уравнений, выполняется тогда и только тогда,

когда Решение дифференциальных уравнений

Средством изучения линейной зависимости сестемы ф-ий явл.так называемый определитель Вронсоко или вронскиан. Для двух диф.ф-ий Решение дифференциальных уравнений вронскиан имеет вид:

Решение дифференциальных уравнений.

Теорема лин. зависимости: Если диф.ф-ии Решение дифференциальных уравнений лин.зависимы на Решение дифференциальных уравнений, то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Так как функции Решение дифференциальных уравнений линейно зависимы, то в равенстве Решение дифференциальных уравнений значение Решение дифференциальных уравнений отлично от нуля. Пусть Решение дифференциальных уравнений, тогда Решение дифференциальных уравненийпоэтому для любого Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений.

11)Если линейно независимы Решение дифференциальных уравнений Доказательство

Если функции Решение дифференциальных уравнений - линейно независимые решения уравнения Решение дифференциальных уравненийна Решение дифференциальных уравнений то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Из теоремы следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

12 Фундаментальная система решений. Теорема существования фундаментальной системы решений. Доказательство

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений Решение дифференциальных уравнений ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация Решение дифференциальных уравнений

Теорема (о ФСР)

Если два частных решения Решение дифференциальных уравнений ЛОДУ Решение дифференциальных уравнений образуют на интервале (а;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция

Решение дифференциальных уравнений, где Решение дифференциальных уравненийи Решение дифференциальных уравнений - произвольные постоянные.

13) Построение общего решения ЛОДУ

Построение общего решения ЛНДУ.

ЛДУ n- го порядка с постоянным коэффициентом. Общее решение. ЛОДУ, характеристические мн-н. Корни простые.

ЛОДУ, характеристические мн-н. Корни кратные.

ЛНДУ. Метод подбора частного решения.

18. Системы ДУ. Метод сведения к ДУ n-го порядка.

19.Системы ДУ. Метод интегрируемых комбинаций.

20. Система ЛДУ. Матричная запись. Свойства

21 Зависимые и независимые решения. Определитель Вронского.

Система ЛОДУ. Свойства

Фундаментальная система решений. Построение общего решения.

ЛН системы. Метод вариаций.

Л О системы с постоянным коэффициентом. Метод Эйлера.

уравнение линейный решение бернулли


Размещено на

Похожие рефераты: