Единое электродинамическое поле и его распространение в виде плоских волн
Сидоренков В.В., МГТУ им. Н.Э. Баумана
Рассматриваются структура и характеристики распространения векторного четырехкомпонентного единого электродинамического поля, реализующего своим существованием функционально связанные между собой составляющие его поля: электромагнитное поле с векторными компонентами электрической и магнитной напряженности, поле электромагнитного векторного потенциала, состоящего из электрической и магнитной компонент, электрическое поле с компонентами электрической напряженности и электрического векторного потенциала, магнитное поле с компонентами магнитной напряженности и магнитного векторного потенциала.
В настоящее время установлено [1, 2], что в отношении полноты охвата явлений электромагнетизма, наряду с системой уравнений электродинамики Максвелла электромагнитного (ЭМ) поля с компонентами электрической и магнитной напряженности:
(a) , (b) , (1)
(c) , (d) ,
существуют и другие системы полевых уравнений, концептуально необходимые для анализа и адекватного физико-математического моделирования электродинамических процессов в материальных средах. Здесь и - электрическая и магнитная постоянные, , и - удельная электропроводность и относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, соответственно, - объемная плотность стороннего электрического заряда; - постоянная времени релаксации заряда в среде за счет электропроводности.
Уравнения в этих других системах рассматривают области пространства, где присутствуют либо только поле ЭМ векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами:
(a) , (b) , (2)
(c) , (d) ;
либо электрическое поле с компонентами и :
(a) , (b) , (3) (c) , (d) ;
либо, наконец, магнитное поле с компонентами и :
(a) , (b) , (4)
(c) , (d) .
Основная и отличительная особенность уравнений систем (2) – (4) в сравнении с традиционными уравнениями Максвелла ЭМ поля (1) с физической точки зрения состоит в том, что именно они, используя представления о поле ЭМ векторного потенциала, способны последовательно описать многообразие электродинамических явлений нетепловой природы в материальных средах, определяемых электрической или магнитной поляризацией и передачей среде момента ЭМ импульса, в частности, реализуемых в процессе электрической проводимости [3] .
Принципиально и существенно то, что все эти системы электродинамических уравнений, в том числе, и система (1) для локально электронейтральных сред (), являются непосредственным следствием фундаментальных исходных соотношений функциональной первичной взаимосвязи ЭМ поля и поля ЭМ векторного потенциала [1, 2]:
(a) , (b) , (5)
(c) , (d) .
Очевидно, что данная система соотношений может служить основой для интерпретации физического смысла поля ЭМ векторного потенциала [4], выяснения его роли и места в явлениях электромагнетизма. Однако самое главное и интересное в них то, что они представляют собой систему дифференциальных уравнений, описывающих свойства необычного вихревого векторного поля, состоящего их четырех полевых векторных компонент , , и , которое назовем единое электродинамическое поле.
Объективность существования указанного единого поля однозначно иллюстрируется указанными системами уравнений (1) – (4) и получаемыми из них соотношениями баланса:
для потока ЭМ энергии из уравнений системы (1)
, (6)
для потока момента ЭМ импульса из уравнений системы (2)
(7)
для потока электрической энергии из уравнений системы (3)
, (8)
и для потока магнитной энергии из уравнений системы (4)
. (9)
Как видим, соотношения (5) действительно фундаментальны и их следует считать уравнениями единого электродинамического поля, базирующегося на исходной своей составляющей - поле ЭМ векторного потенциала, состоящего из двух взаимно ортогональных электрической и магнитной векторных полевых компонент. При этом поле ЭМ векторного потенциала своим существованием реализует функционально связанные с ним другие составляющие единого поля: ЭМ поле с векторными компонентами и , электрическое поле с компонентами и , магнитное поле с компонентами и .
Отмеченная здесь структура и взаимосвязь составляющих единого электродинамического поля сохраняется и в статической асимптотике. Логика построения систем полевых уравнений для стационарных составляющих единого поля и анализ физического содержания таких уравнений изложены, например, в работе [5].
Таким образом, имеем очевидное обобщение и серьезное развитие представлений классической электродинамики. В частности, показано, что, так же как и в случае ЭМ поля, в Природе нет электрического, магнитного или другой составляющей единого электродинамического поля с одной полевой компонентой. Структура обсуждаемых составляющих единого электродинамического поля из двух векторных взаимно ортогональных полевых компонент – это объективно необходимый способ их реального существования, принципиальная и единственная возможность распространения конкретной составляющей в виде потока соответствующей физической величины, в случае динамических полей - посредством поперечных волн.
Форма представленных систем уравнений (1) – (4) говорит о существовании волновых уравнений как для компонент ЭМ поля и , так и для компонент поля ЭМ векторного потенциала и . В этом можно убедиться, взяв, как обычно, ротор от одного из роторных уравнений любой системы, и после чего подставить в него другое роторное уравнение той же системы. Например, в качестве иллюстрации получим для системы (2) волновое уравнение относительно :
.
Здесь, согласно (2c), , - оператор Лапласа, а - фазовая скорость поля волны в отсутствие поглощения. Следовательно, указанные волновые уравнения описывают волны конкретной составляющей единого электродинамического поля в виде одной из парных комбинаций этих четырех волновых уравнений. В итоге возникает физически очевидный вопрос, что это за волны, и каковы характеристики распространения таких волн?
Ввиду того, что уравнения систем (1) и (2) математически структурно тождественны, а волновые решения уравнений (1) широко известны [6], то далее анализ характеристик распространения составляющих единого электродинамического поля, например, в виде плоских волн в однородных изотропных материальных средах проведем, прежде всего, для уравнений (3) электрического поля и уравнений (4) магнитного поля. Их необычные структуры между собой также математически тождественны, а волновые решения систем этих уравнений, как будет показано ниже, физически нетривиальны.
Итак, рассмотрим волновой пакет плоской линейно поляризованной электрической волны, распространяющейся вдоль оси 0X с компонентами и для системы (3) либо магнитной волны с компонентами и для системы (4), которые представим комплексными спектральными интегралами. Здесь, согласно соотношениям (5с) и (5d), учтена функциональная взаимосвязь обсуждаемых волн в виде единого процесса и взаимная коллинеарность векторов и (эти векторы антипараллельны), и компонент полей. Тогда, например, для уравнений электрического поля указанные интегралы имеют вид:
и ,
где и - комплексные амплитуды.
Подставляя их в уравнения (3a) и (3c), приходим к соотношениям и . Соответствующая подстановка интегралов и в уравнения (4а) и (4c) дает и