Xreferat.com » Рефераты по математике » Целочисленные функции

Целочисленные функции

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования


Вятский государственный гуманитарный университет


Математический факультет


Кафедра алгебры и геометрии


Выпускная квалификационная работа


«Целочисленные функции»


Выполнила: студентка
V курса математического факультета Мошкина Т.Л.


Научный руководитель: старший преподаватель Семёнов А.Н.

Целочисленные функции

Рецензент:

Целочисленные функции


Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой Вечтомов Е.М.

Целочисленные функции« »

Целочисленные функцииЦелочисленные функцииДекан факультета Варанкина В.И.

« »

Целочисленные функции

Киров

2005

Содержание


Введение

Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты)

I. Определения

II. Связь с непрерывными функциями

ababababIII. Количество целых чисел в интервалах: [, ], [, ), (,), (, ]

IV. Спектры.

V. ‘Mod’: бинарная операция

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач)

Литература

Введение

Целые числа составляют костяк дискретной математики, и на практике часто приходится округлять дробные или произвольные вещественные числа до целых.

До недавнего времени для обозначения целой части вещественного числа Целочисленные функции использовалась запись Целочисленные функции. Но в начале 60-х годов Кеннет Э.Айверсон предложил в этом случае писать Целочисленные функции и дал удачное название этому обозначению: «пол». Для обозначения верхнего целого он предложил запись Целочисленные функции и назвал её «потолком», а для квадратных скобок нашёл новое применение. Предложенная Айверсоном нотация оказалась настолько удачной, что за рубежом старое обозначение уже практически не встречается. С появлением русского издания книги Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник «Конкретная математика» эта нотация становится популярной и в России.

Цель данной работы — получить представление и навыки в обращении с «полом» и «потолком».

Задачи работы:

Осветить теоретические аспекты данной темы:

Дать определение функций «пол», «потолок»;

Рассмотреть некоторые свойства этих функций;

Установить связь с непрерывными функциями;

Подсчитать количество целых чисел в заданных интервалах;

Рассмотреть определение спектра и его свойства;

Дать определение бинарной операции «mod» и рассмотреть приложение этой операции;

Рассмотреть на примере, как можно вычислить сумму, содержащую «полы».

Показать, как теория применяется на практике при решении задач.

Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты)


Определения.

Договоримся через Целочисленные функции обозначать множество всех натуральных чисел, т.е. множество всех целых положительных чисел. Определим для любого вещественного числа x функции наибольшего и наименьшего целого:

лxы — наибольшее целое, меньше или равное x;

йxщ — наименьшее целое, больше или равное x.


Из определения ясно, что Целочисленные функции, Целочисленные функции. Отсюда следует, что

Целочисленные функции (1)

В целых точках неубывающие функции Целочисленные функции и Целочисленные функции совпадают, т.е. Целочисленные функцииЫ Целочисленные функции— целое Ы Целочисленные функции. А если они не совпадают, то они отличаются на 1, т.е.

Целочисленные функции[Целочисленные функции- не целое] (2)

Эта формула связывает все три обозначения Айверсона. Здесь и далее квадратные скобки используются для произвольного высказывания P в таком смысле:

Целочисленные функции

Функции Целочисленные функции и Целочисленные функции являются отображениями друг друга относительно координатных осей, т.е.

Целочисленные функции, Целочисленные функции (3)

Из определений «пола» и «потолка» легко следуют свойства этих функций: Целочисленные функции и Целочисленные функции


Целочисленные функции (4)


Разность между Целочисленные функции и Целочисленные функции называется дробной частью x и обозначается

Целочисленные функции

Иногда Целочисленные функции называется целой частью Целочисленные функции, поскольку Целочисленные функции.


Докажем следующее свойство рассматриваемых функций:

Целочисленные функции (5)


Целочисленные функцииЦелочисленные функцииЦелочисленные функцииЦелочисленные функцииЦелочисленные функции

Так как Целочисленные функции равно либо 0, либо 1, то Целочисленные функции равно либо Целочисленные функции, либо Целочисленные функции.


Связь с непрерывными функциями.

Пусть Целочисленные функции — некоторая непрерывная монотонно возрастающая функция, обладающая тем свойством, что Целочисленные функции — целое число Ю Целочисленные функции — целое число. Тогда

Целочисленные функции (6)

и

Целочисленные функции (7)

всякий раз, когда определены функцииЦелочисленные функции,Целочисленные функции,Целочисленные функции.

Докажем, что

Целочисленные функции

Случай 1: если Целочисленные функции, тогда Целочисленные функции.

Случай 2: если Целочисленные функции, тогда Целочисленные функции (в силу того, что функция Целочисленные функции монотонно возрастающая), а так как функция «пол» — не убывающая, то Целочисленные функции. Предположим, что Целочисленные функции, тогда существует такое число Целочисленные функции, что Целочисленные функции и Целочисленные функции (в силу непрерывности функцииЦелочисленные функции). Из условия следует, что Целочисленные функции— целое число. Это противоречит тому, что между Целочисленные функциии Целочисленные функции нет целых чисел. Значит, Целочисленные функции.


Докажем, что

Целочисленные функции

Случай 1: если Целочисленные функции, то Целочисленные функции.

Случай 2: если Целочисленные функции, то Целочисленные функции (в силу того, что функция Целочисленные функции монотонно возрастающая), а так как функция «потолок» — не убывающая, то Целочисленные функции. Предположим, что Целочисленные функции, тогда существует такое число Целочисленные функции, что Целочисленные функции и Целочисленные функции (в силу непрерывности функции Целочисленные функции). Из условия следует, что Целочисленные функции— целое число. Это противоречит тому, что между Целочисленные функции и Целочисленные функции нет целых чисел. Значит, Целочисленные функции.

Рассмотрев Целочисленные функции, получаем полезное свойство:

Целочисленные функции и Целочисленные функцииЦелочисленные функции (8)

Например, при Целочисленные функции и Целочисленные функции получаем Целочисленные функции, т.е. троекратное деление на 10 с последовательным отбрасыванием цифр остатка — это то же самое, что и непосредственное деление на 1000 с последующим отбрасыванием всего остатка.

Количество целых чисел в интервалах: [a, b], [a, b), (a,b), (a, b].

Будем рассматривать указанные интервалы при условии Целочисленные функции.

Если a и b — целые числа, тогда интервал [a, b) содержит ровно Целочисленные функции целых чисел: a, a+1, …, Целочисленные функции, аналогично интервал (a, b] содержит Целочисленные функции целых чисел, но a и b — произвольные вещественные числа. Из (4) следует

Целочисленные функции, когда Целочисленные функции — целое число

Поэтому интервал [a, b) содержит ровно Целочисленные функции целых чисел, а интервал (a, b] содержит ровно Целочисленные функции целых чисел.

Рассмотрим промежуток [a, b]. Имеем Целочисленные функции (на основании свойств (4)). Отсюда следует, что рассматриваемый промежуток содержит ровно Целочисленные функции целых чисел: Целочисленные функции, Целочисленные функции, …, Целочисленные функции, Целочисленные функции.

Рассмотрим (a, b), причём Целочисленные функции. Имеем Целочисленные функции. Отсюда следует, что рассматриваемый интервал содержит ровно Целочисленные функции целых чисел: Целочисленные функции, Целочисленные функции, …, Целочисленные функции, Целочисленные функции. Если не вводить дополнительное ограничение Целочисленные функции то получим, что пустой интервал (a, a) содержит ровно Целочисленные функции целых чисел.

Подытожим установленные факты:

Интервал Количество целых чисел Ограничение
[a, b] лbы - йaщ + 1 a Ј b
[a, b) йbщ - йaщ a Ј b
(a, b] лbы - лaы a Ј b
(a, b) йbщ - лaы -1 a < b


(9)


Спектры.

Спектр некоторого вещественного числа a определяется как бесконечное мультимножество целых чисел:

Spec (a) = {Целочисленные функции, Целочисленные функции, Целочисленные функции,…} (10)

Если Целочисленные функции, то Spec (a)№Spec (b), т.е. нет двух одинаковых спектров.

Действительно, если предположить, что Целочисленные функции, то найдётся некоторое положительное целое число Целочисленные функции, такое, что Целочисленные функции. Следовательно, Целочисленные функции и Целочисленные функции. Таким образом, Spec(b) содержит менее чем m элементов не больших Целочисленные функции, тогда как Spec(α) содержит по меньшей мере m.

Пусть Целочисленные функции. Число элементов в Spec(Целочисленные функции), которые не превосходят Целочисленные функции, равно

Целочисленные функции (11)

Говорят, что спектры образуют разбиение всех целых положительных чисел, если любое число, отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом; но никакое число не содержится одновременно в обоих. Пусть Целочисленные функции и Целочисленные функции — вещественные положительные числа, тогда Spec(Целочисленные функции

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: