Xreferat.com » Рефераты по математике » Основы математического анализа

Основы математического анализа

1. Множества и операции над множествами


Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами Основы математического анализа, а элементы множества строчными латинскими буквами Основы математического анализа.

Запись Основы математического анализаозначает, что есть множество Основы математического анализас элементами Основы математического анализа, которые связаны между собой какой-то функцией Основы математического анализа.

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

Принадлежность элемента множеству:


Основы математического анализа


где Основы математического анализа-- элемент и Основы математического анализа-- множество (элемент Основы математического анализапринадлежит множеству Основы математического анализа ).

Непринадлежность элемента множеству:


Основы математического анализа


где Основы математического анализа-- элемент и Основы математического анализа-- множество (элемент Основы математического анализане принадлежит множеству Основы математического анализа ).

Объединение множеств: Основы математического анализа.

Объединением двух множеств Основы математического анализаи Основы математического анализаназывается множество Основы математического анализа, которое состоит из элементов множеств Основы математического анализаи Основы математического анализа, т.е.


Основы математического анализа или Основы математического анализа


Пересечение множеств: Основы математического анализа.

Пересечением двух множеств Основы математического анализаи Основы математического анализаназывается множество Основы математического анализа, которое состоит из общих элементов множеств Основы математического анализаи Основы математического анализа, т.е.


Основы математического анализа и Основы математического анализа


Разность множеств: Основы математического анализа.

Разностью двух множеств Основы математического анализаи Основы математического анализа, например, множество Основы математического анализаминус множество Основы математического анализа, называется множество Основы математического анализа, которое состоит из элементов множества Основы математического анализа, которых нет в множестве Основы математического анализа, т.е.


Основы математического анализа и Основы математического анализа


Симметрическая разность множеств:


Основы математического анализа.


Симметрической разностью двух множеств Основы математического анализаи Основы математического анализаназывается множество Основы математического анализа, которое состоит из не общих элементов множеств Основы математического анализаи Основы математического анализа, т.е.


Основы математического анализа


Дополнение множества: Основы математического анализа.

Если предположим, что множество Основы математического анализаявляется подмножеством некоторого универсального множества Основы математического анализа, тогда определяется операция дополнения:


Основы математического анализа иОсновы математического анализа


Вхождение одного множества в другое множество: Основы математического анализа.

Если любой элемент множества Основы математического анализаявляется элементом множества Основы математического анализа, то говорят, что множество Основы математического анализаесть подмножество множества Основы математического анализа(множество Основы математического анализавходит в множество Основы математического анализа).

Не вхождение одного множества в другое множество: Основы математического анализа.

Если существует элемент множества Основы математического анализа, который не является элементом множества Основы математического анализа, то говорят, что множество Основы математического анализане подмножество множества Основы математического анализа(множество Основы математического анализане входит в множество Основы математического анализа).


2. Первая и вторая теорема Вейерштрасса


Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk , сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{ldots}, мы получим последовательность (xn) точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk) , которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)) . С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь limk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x). ϕ(x)на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x)на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.


3. Теорема Ферма и Ролля


Пусть функция f(x) имеет на множестве E точку экстремума x₀?E, причём множество E содержит некоторую β- окрестность, что E=(x- β;x+ β) точки x. Тогда либо f(x) имеет в точке x производную, равную 0, то есть fґ(x)=0 , либо производная в точке x не существует. Теорема Ролля Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b), дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль, [f(a)=f(b)=0], то внутри отрезка (a;b) существует п окрпйней мере одна тоска x=c, a<c<b, в которой производная fґ(x) обращается в нуль, т.е. fґ(c)=0

Метод математической индукции

Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.

Метод математической индукции состоит в следующем:

Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:

P(1) является истинным предложением (утверждением);

P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).

Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:

Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).

Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).

Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:

Пусть m - натуральное число, m > 1 и P(n) - предложение, зависящее от n, n ≥ m.

Если

P(m) справедливо;

P(n) будучи истинным предложением, влечет истинность предложения P(n + 1) для любого натурального n, n ≥ m, тогда P(n) - истинное предложение для любого натурального n, n ≥ m.

В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Пример 1. Доказать следующие равенства


Основы математического анализа


g) формула бинома Ньютона:


Основы математического анализа


где n  N.

Решение. a) При n = 1 равенство примет вид Основы математического анализа1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место


Основы математического анализа.


Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть


Основы математического анализа


истинно. Поскольку (используется предположение индукции)


Основы математического анализа


получим


Основы математического анализа


то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

Замечание 2. Этот пример можно было решить и иначе. Действительно, сумма 1 + 2 + 3 + ... + n есть сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом a1 = 1 и разностью d = 1. В силу известной формулы Основы математического анализа, получим


Основы математического анализа


b) При n = 1 равенство примет вид: 2·1 - 1 = 12 или 1=1, то есть, P(1) истинно. Допустим, что имеет место равенство


1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2


и докажем, что имеет место P(n + 1):


1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n + 1)2


или


1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.


Используя предположение индукции, получим


1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2.


Таким образом, P(n + 1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.

Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования метода математической индукции.

c) При n = 1 равенство истинно: Основы математического анализа1=1. Допустим, что истинно равенство


Основы математического анализа


и покажем, что


Основы математического анализа


то есть истинность P(n) влечет истинность P(n + 1). Действительно,


Основы математического анализа


и, так как 2n2 + 7n + 6 = (2n + 3)(n + 2), получим


Основы математического анализа


и, следовательно, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

d) При n = 1 равенство справедливо: Основы математического анализа1=1. Допустим, что имеет место


Основы математического анализа


и докажем, что


Основы математического анализа


Действительно,


Основы математического анализа


e) Утверждение P(1) справедливо: Основы математического анализа2=2. Допустим, что равенство


Основы математического анализа


справедливо, и докажем, что оно влечет равенство


Основы математического анализа


Действительно,


Основы математического анализа


Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.

f) P(1) справедливо: Основы математического анализа1/3 = 1/3. Пусть имеет место равенство P(n):


Основы математического анализа.


Покажем, что последнее равенство влечет следующее:


Основы математического анализа


Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим


Основы математического анализа


Таким образом, равенство доказано.

g) При n = 1 имеем a + b = b + a и, следовательно, равенство справедливо.


Пусть формула бинома Ньютона справедлива при n = k, то есть,


Основы математического анализа


Тогда


Основы математического анализа


Используя равенство Основы математического анализаполучим


Основы математического анализа


Пример 2. Доказать неравенства

a) неравенство Бернулли: (1 + )n ≥ 1 + n,  > -1, n  N.


b) x1 + x2 + ... + xn ≥ n, если x1x2· ... ·xn = 1 и xi > 0, Основы математического анализа.


c) неравенство Коши относительно среднего арифемтического и среднего геометрического


Основы математического анализа где xi > 0, Основы математического анализа, n ≥ 2.

d) sin2n + cos2n ≤ 1, n  N.

e) Основы математического анализа

f) 2n > n3, n  N, n ≥ 10.


Решение. a) При n = 1 получаем истинное неравенство


1 +  ≥ 1 + .


Предположим, что имеет место неравенство


(1 + )n ≥ 1 + n (1)


и покажем, что тогда имеет место и


≥


Действительнопосколькувлечеттоумножаяобечастинеравенстванаполучим


≥


или


≥


Поскольку≥следовательно,


≥≥


Таким образом, если P(n) истинно, то и P(n + 1) истинно, следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

b) При n = 1 получим x1 = 1 и, следовательно, x1 ≥ 1 то есть P(1) - справедливое утверждение. Предположим, что P(n) истинно, то есть, если adica, x1,x2,...,xn - n положительных чисел, произведение которых равно единице, x1x2·...·xn = 1, и x1 + x2 + ... + xn ≥ n.

Покажем, что это предложение влечет истинность следующего: если x1,x2,...,xn,xn+1 - (n + 1) положительных чисел, таких, что x1x2·...·xn·xn+1 = 1, тогда x1 + x2 + ... + xn + xn + 1 ≥ n + 1.

Рассмотрим следующие два случая:

1) x1 = x2 = ... = xn = xn+1 = 1. Тогда сумма этих чисел равна (n + 1), и требуемое неравество выполняется;

2) хотя бы одно число отлично от единицы, пусть, например, больше единицы. Тогда, поскольку x1x2· ... ·xn·xn + 1 = 1, существует еще хотя бы одно число, отличное от единицы (точнее, меньше единицы). Пусть xn + 1 > 1 и xn < 1. Рассмотрим n положительных чисел


x1,x2,...,xn-1,(xn·xn+1).


Произведение этих чисел равно единице, и, согласно гипотезе,


x1 + x2 + ... + xn-1 + xnxn + 1 ≥ n.


Последнее неравенство переписывается следующим образом:


x1 + x2 + ... + xn-1 + xnxn+1 + xn + xn+1 ≥ n + xn + xn+1


или


x1 + x2 + ... + xn-1 + xn + xn+1 ≥ n + xn + xn+1 - xnxn+1.


Поскольку


(1 - xn)(xn+1 - 1) > 0,

n + xn + xn+1 - xnxn+1 = n + 1 + xn+1(1 - xn) - 1 + xn = = n + 1 + xn+1(1 - xn) - (1 - xn) = n + 1 + (1 - xn)(xn+1 - 1) ≥ n + 1.


Следовательно,


x1 + x2 + ... + xn + xn+1 ≥ n+1,


то есть, если P(n) справедливо, то и P(n + 1) справедливо. Неравенство доказано.

Замечание 4. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x1 = x2 = ... = xn = 1.

c) Пусть x1,x2,...,xn - произвольные положительные числа. Рассмотрим следующие n положительных чисел:


Основы математического анализа


Поскольку их произведение равно единице:


Основы математического анализа


согласно ранее доказанному неравенству b), следует, что


Основы математического анализа


откуда


Основы математического анализа


Замечание 5. Равенство выполняется если и только если x1 = x2 = ... = xn.

справедливоеутверждениеПредположимчтоистинноеутверждение

≤

ипокажемчтоимеетместоДействительно

··≤

если≤тоиобратноесли≤тоТакимобразомдлялюбого≤изнакравенствадостигаетсялишьпри

e) При n = 1 утверждение справедливо: Основы математического анализа

Похожие рефераты: