Высшая математика, интегралы (шпаргалка)
Равномерная непрерывность
Определение
28.7: Функция
называется
равномерно
непрерывной
на множестве
,
если:
.
(в отличие от
критерия Коши:
).
Пояснение:
Пусть:
.
Тогда:
Т.е. функция
не
является равномерно
непрерывной
на множестве
.
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема
28.5: Если
функция
определена
и ограничена
на отрезке
,
и если
можно
указать конечное
число интервалов,
покрывающих
все точки разрыва
этой функции
на
.
Причём общая
длина этих
интервалов
меньше
.
То
-
интегрируема
на
.
Замечание:
Очевидно, что
если
-
интегрируема
на
,
а
отличается
от
только
в конечном
числе точек,
то
-
интегрируема
на
и
.
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть - интегрируема на , , тогда: функция интегрируема на и функция называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция - интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема
28.6: Если
функция
-
непрерывна
на
,
то у неё существует
на
первообразная,
одна из которых
равна:
,
где
.
Замечание
1: Из
дифференцируемости
функции
следует
её непрерывность,
т.е.
Замечание
2: Поскольку
-
одна из первообразных
,
то по определению
неопределённого
интеграла и
теореме о разности
первообразных:
.
Это связь между
определённым
и неопределённым
интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка .
Теорема. Если 1. Функция и ее производная непрерывны при
2. множеством значений функции при является отрезок [a;b]
3. , то =.
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =. Т.к. , то является первообразной для функции , . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
=.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде:
.
Тогда: . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
.
Подстановка: .
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл , где . Введём новую переменную формулой: , где функция дифференцируема на и имеет обратную , т.е. отображение на - взаимно-однозначное. Получим: . Тогда . Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще) и последующей подстановке .
Пример: Вычислить .
, откуда: .
Интегрирование по частям. Пусть - дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: , или короче: . Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить .
Положим
.
Тогда
.
В качестве
выберем
первообразную
при
.
Получим
.
Снова
.
Тогда
.
Окончательно
получим:
.
Замечание
26.5: Иногда
при вычислении
интеграла
методом
интегрирования
по частям получается
зависимость:
.
Откуда можно
получить выражение
для первообразной:
.
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:
1). |
2). |
3). |
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть , тогда, если: , где , то Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. . |
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку: , получим: .
тогда
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена - комплексные, сделав подстановку: , получим: .
2). Корни многочлена - действительные: . Подстановка: , получаем: .
b). Подстановка: , далее, если:
1). подстановка - |
2). подстановка - |
3). подстановка - |
c).
Если подстановка -
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка: , тогда:
подстановка:
или - нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1: Функция называется первообразной для функции на , если: .
Пусть и - первообразные функции на . Тогда: .
Определение
26.2: Неопределённым
интегралом
от функции
на
называется
объединение
всех первообразных
на
этом интервале.
Обозначается:
.
Замечание
26.1: Если
-
одна из первообразных
на
,
то
.
Замечание
26.2: Подынтегральное
выражение в
определении
представляет
из себя полный
дифференциал
первообразной
на
,
т.е.
.
Замечание
26.3: Два
неопределённых
интеграла
равны “с
точностью до
постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
,
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если, то и , где u=- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Табличные интегралы
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка таких, что: называют разбиением отрезка