Xreferat.com » Рефераты по математике » Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 8


Реферат по геометрии на тему:

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Работу выполнил ученик 9 «А» класса

МОУ СОШ № 8 Петров Игорь


Руководитель: учитель математики МОУ СОШ № 8

Смирнова Надежда Анатольевна


Содержание:


Введение

Теоретическая часть:

2.1 Вписанная окружность

2.2 Описанная окружность

2.3 Взаимное расположение прямой и окружности

2.4 Площади фигур

2.5 Свойства прямоугольного треугольника

Практическая часть:

3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника

3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

3.3 Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

Заключение

Список литературы:


1. Введение


Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.

Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

Цель:

Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»

Задачи:

Систематизировать знания по этой теме

Подготовиться к решению задач повышенной сложности ЕГЭ


2.Теоретическая часть


2.1 Вписанная окружность


Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.

Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.


2.2 Описанная окружность


Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.


2.3 Взаимное расположение прямой и окружности:


AB – касательная, если OH = r

Свойство касательной:

AB ┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H)

Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:

AB = AC

ﮮ BAO = ﮮ CAO

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Свойство хорд: если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM ∙ MB = CM ∙ MD.


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Медиана

Медиана (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Теорема: сумма углов треугольника равна 180°

Основное тригонометрическое тождество: sin2 A + cos2 A = 1

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 – 2bc ∙ cos A


2.4 Площади фигур

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон ​на синус угла между ними:


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:


Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.


Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:


Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


2.5 Прямоугольный треугольник


Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:


Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


3. Практическая часть


3.1 Задачи с окружностью, описанной около треугольника


Задача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках



Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

площадь ∆ BOC равна 16

Найти: радиус описанной окружности

Решение:

Проведем медианы AF, CE, BH

∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚

BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚

S = Окружности в треугольниках и четырехугольниках ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = Окружности в треугольниках и четырехугольниках ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = Окружности в треугольниках и четырехугольниках ∙ R ∙ R ∙ Окружности в треугольниках и четырехугольниках = Окружности в треугольниках и четырехугольниках ∙ R2 ; Окружности в треугольниках и четырехугольниках ∙ R2 = 16; R2 = 16 : Окружности в треугольниках и четырехугольниках = 64; R = Окружности в треугольниках и четырехугольниках = 8

Ответ: R = 8


Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

ﮮ MOP = 2 ﮮMBP

ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный

MP2 = OM2 + OP2

MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2

MP = Окружности в треугольниках и четырехугольниках

MK = KP = 0,5 ∙ MP

MK = KP = 0,5 ∙ Окружности в треугольниках и четырехугольниках = Окружности в треугольниках и четырехугольниках

MK ∙ KP = BK ∙ KC

Окружности в треугольниках и четырехугольниках = BK ∙ 3

BK ∙ 3 = 9 ∙ 2

BK ∙ 3 = 18

BK = 6

Ответ: BK = 6


Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8

∆ DOH – прямоугольный

По теореме Пифагора:

OH2 = 102 – 82

OH2 = 100 – 64 = 36

OH = 6

BH = BO + OH = 10 + 6 =16

По теореме Пифагора:

BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320

BC = Окружности в треугольниках и четырехугольниках

∆ KBO ~ ∆ HBC

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

SBHC = Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

SBOK = 20

SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40

Ответ: SBOC = 40


3.2 Задачи с окружностью, вписанной в треугольник


Задача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

AC = 2r = 10 м

Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

По теореме Пифагора:

Окружности в треугольниках и четырехугольникахx + y = 10

(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2

Окружности в треугольниках и четырехугольникахy = 10 – x

(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2

(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100

x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100

2x2 – 20x + 148 = 100

2x2 – 20x + 48 = 0

x2 – 10x + 24 = 0

x1 = 6, x2 = 4

y = 10 – x

Окружности в треугольниках и четырехугольникахОкружности в треугольниках и четырехугольникахx = 6 x = 4

y = 4 y = 6

3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6

BC = 2 + 6 = 8 м

Ответ: BС = 8 м


Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

Найти: KA

Решение:

CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

Ответ: KA = 12


BC = x + y

BC = 18 + 12 = 30 (м)

Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности


3.3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника


Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.

АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;

так как ОА2=ОВ2, получим:

АК2 + КО2 = ВН2 + НО2

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

90 + 64 – 16x = 0

16x = 154

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

ОВ2 = ВН2 + НО2

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Ответ: OB = 10,625


3.4 Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник


Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD Окружности в треугольниках и четырехугольниках r в 4 раза

Найти: Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Ответ:Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти: Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

AB = CD = 10 по условию

AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности

AD + BC = 10 + 10 = 20

FE = 2r = 2 · 4 = 8

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Ответ:Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

Пусть AB = BC = AC = a.

Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = Окружности в треугольниках и четырехугольниках.

AO1 – биссектриса угла A, следовательно, ﮮ O1AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и AE =Окружности в треугольниках и четырехугольниках=Окружности в треугольниках и четырехугольниках=Окружности в треугольниках и четырехугольниках. Тогда AE + r = =Окружности в треугольниках и четырехугольниках= Окружности в треугольниках и четырехугольниках, откуда Окружности в треугольниках и четырехугольниках.

4. Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Ответ: Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Задача 10: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Ответ: Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.

Окружности в треугольниках и четырехугольниках


Решение:

202 = 122 + 162

400 = 144 + 256

400 = 400 верно, следовательно, ∆ АВС – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Окружности в треугольниках и четырехугольниках

96 = 10 · ВН

ВН = 9,6

Ответ: ВН = 9,6


Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.

Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10

Найти: Окружности в треугольниках и четырехугольниках

Похожие рефераты: