Xreferat.com » Рефераты по математике » Представление функции рядом Фурье

Представление функции рядом Фурье

Федеральное агентство по образованию РФ.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского.

Физико-математический факультет кафедра фундаментальной и прикладной математики, теории и методики обучения математике.


Курсовая работа

«Ряды Фурье»


Выполнил: Студент 131 группы

Гаврутенко А.В.

Научный руководитель: профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики,

теории и методики обучения математике

Менчер А.Э.


Чита 2009

Оглавление


Введение

Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье

Ортогональные системы функций

Интеграл Дирихле Принцип локализаци

Представление функций рядом Фурье

Случай непериодической функции

Случай произвольного промежутка

Случай четных и нечетных функций

Примеры разложения функций в ряд Фурье

Список использованной литературы


Введение


В науке и технике часто приходиться иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т, который называется периодом. Например, движение паровой машины повторяется, после того как пройдет полный цикл. Различные величины, связанные с периодическим явлением, по истечении периода Т возвращаются к своим прежним значениям и представляют собой периодические функции от времени t с периодом Т.


Представление функции рядом Фурье


Если не считать постоянной, то простейшей периодической функцией является синусоидальная величина: Представление функции рядом Фурье, где Представление функции рядом Фурье есть частота, связанная с периодом Т соотношением:


Представление функции рядом Фурье.


Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, иначе их сложение не дает ничего нового, а вновь приводит к синусоидальной величине, причем той же частоты. Если же сложить величины вида:


Представление функции рядом Фурье (1)


которые имеют разные частоты


Представление функции рядом Фурье,

то получится периодическая функция, но уже существенно отличающаяся от величин, входящих в сумму.

Рассмотрим для примера сложение трех синусоидальных величин:


Представление функции рядом Фурье


Представление функции рядом Фурье


На рисунке мы видим, что график функции полученной в результате сложения трех синусоидальных величин (показан сплошной линией) уже значительно отличается от синусоиды. В большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда величин вида (1).

Теперь возникает обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию представить в виде суммы конечного или бесконечного множества синусоидальных величин вида (1).

Как будет показано ниже, на этот вопрос можно ответить удовлетворительно, но только лишь используя бесконечную последовательность величин вида (1). Для функций некоторого класса имеет место разложение в «тригонометрический ряд»:


Представление функции рядом ФурьеПредставление функции рядом Фурье (2)


С геометрической точки зрения это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же каждую синусоидальную величину истолковать механически как представляющую гармонические колебательные явления, то можно сказать, что здесь сложное колебание разлагается на отдельные гармонические колебания. Исходя из этого, отдельные синусоидальные величины, входящие в состав разложения (2), называют гармоническими составляющими функции Представление функции рядом Фурьеили просто ее первой, второй и т. д. гармониками. Сам же процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.

Если за независимую переменную выбрать


Представление функции рядом Фурье,


то получиться функция, зависящая от х, так же периодическая, но уже со стандартным периодом Представление функции рядом Фурье Разложение (2) в этом случаи примет вид:


Представление функции рядом ФурьеПредставление функции рядом Фурье

Представление функции рядом Фурье (3)


Теперь развернув члены этого ряда по формуле синуса суммы и обозначив


Представление функции рядом Фурье

мы придем к окончательной форме тригонометрического разложения:


Представление функции рядом ФурьеПредставление функции рядом Фурье

Представление функции рядом Фурье (4)


В данном разложении функция от угла х, имеющая период Представление функции рядом Фурье разложена по косинусам и синусам углов, кратных х.

Мы пришли к разложению функции в тригонометрический ряд, отправляясь от периодических, колебательных явлений и связанных с ними величин. Подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.

Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье.

В предыдущем параграфе было сказано, что существует ряд функций, которые можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда. Для того, что бы установить возможность разложения некоторой функции Представление функции рядом Фурье, имеющей период Представление функции рядом Фурьев тригонометрический ряд вида:


Представление функции рядом Фурье

Представление функции рядом Фурье (4)


нужно иметь набор коэффициентов Представление функции рядом Фурье

Прием для нахождения этих коэффициентов во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале XIX века—Фурье.

Впредь будем предполагать функцию Представление функции рядом Фурьенепрерывной или кусочнонепрерывной в промежутке Представление функции рядом Фурье.

Допустим, что разложение (4) имеет место. Проинтегрируем его почленно от Представление функции рядом Фурьедо Представление функции рядом Фурье; в результате получим:


Представление функции рядом Фурье


Но, как легко видеть,


Представление функции рядом Фурье (5)


Поэтому все члены под знаком суммы будут равняться нулю, и окончательно получаем


Представление функции рядом Фурье (6)


Для того чтобы найти значение коэффициента Представление функции рядом Фурье, умножим обе части равенства (4) на Представление функции рядом Фурье и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:


Представление функции рядом Фурье

В виду (5) Представление функции рядом Фурье.

Представление функции рядом Фурье

если Представление функции рядом Фурье, и, наконец,

Представление функции рядом Фурье (9)


Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент Представление функции рядом Фурье. Отсюда получаем:


Представление функции рядом Фурье Представление функции рядом Фурье


Аналогично, умножая разложение (4) на Представление функции рядом Фурьеи затем, интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:


Представление функции рядом Фурье Представление функции рядом Фурье


Формулы, по которым вычисляются коэффициенты Представление функции рядом Фурье, называются формулами Эйлера-Фурье, а сами коэффициенты называются коэффициентами Фурье для данной функции. И, наконец, тригонометрический ряд (4), составленный по этим коэффициентам, получил название ряд Фурье для данной функции.

Дадим теперь отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Мы исходили из того, что тригонометрический ряд (4) имеет место, поэтому вопрос о том, отвечает ли это действительности, остается открытым. Мы пользовались повторно почленным интегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна, достаточным условием для применения операции является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным условием можно считать лишь следующее:

если функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (4), то этот ряд будет являться ее рядом Фурье.

Если же не предполагать наперед равномерности сходимости, то все приведенные выше соображения не доказывают даже того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье. Эти рассуждения можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции начать ее с ряда Фурье, обязуясь установить условия, при которых он сходится и притом именно к данной функции.

Пока этого не сделано, мы имеем право лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функции, но не можем о нем ничего утверждать, кроме того, что он «порожден» функцией f(x). Эту связь обычно обозначают так:


Представление функции рядом Фурье


избегая знака равенства.

Ортогональные системы функций

Две функции Представление функции рядом Фурьеи Представление функции рядом Фурье определенные на промежутке Представление функции рядом Фурье называются ортогональными на этом промежутке, если интеграл от их произведения равен нулю:


Представление функции рядом Фурье


Рассмотрим систему функций Представление функции рядом Фурье, определенных в промежутке [a, b] и непрерывных или кусочно-непрерывных. Если все функции данной системы попарно ортогональны, то есть


Представление функции рядом Фурье Представление функции рядом Фурье


то ее называют ортогональной системой функций. При этом всегда будем полагать, что


Представление функции рядом Фурье


Если Представление функции рядом Фурье, то система называется нормальной. Если же это условие не выполняется, то можно перейти к системе Представление функции рядом Фурье, которая уже заведомо будет нормальной.

Важнейшим примером ортогональной системы функций как раз и является тригонометрическая система


Представление функции рядом Фурье (10)


в промежутке Представление функции рядом Фурье, которую мы рассматривали ранее. Ее ортогональность следует из соотношений (5), (7), (8). Однако она не будет нормальной ввиду (9). Умножая тригонометрические функции (10) на надлежащие множители, легко получить нормальную систему:


Представление функции рядом Фурье (10*)

Пусть в промежутке Представление функции рядом Фурье дана какая-нибудь ортогональная система функций Представление функции рядом Фурье. Зададимся целью разложить определенную в Представление функции рядом Фурье функцию Представление функции рядом Фурьев «ряд по функциям Представление функции рядом Фурье» вида:


Представление функции рядом Фурье (11)


Для определения коэффициентов данного разложения поступим так же, как мы это сделали в предыдущем параграфе, а именно умножим обе части равенства на Представление функции рядом Фурье и проинтегрируем его почленно:


Представление функции рядом Фурье


В силу ортогональности системы, все интегралы справа, кроме одного, будут равны нулю, и легко получается:


Представление функции рядом Фурье (m=0, 1, 2, …) (12)


Ряд (11) с коэффициентами, составленными по формулам (12), называется обобщенным рядом Фурье данной функции, а сами коэффициенты—ее обобщенными коэффициентами Фурье относительно системы Представление функции рядом Фурье. В случаи нормальной системы функций коэффициенты будут определяться следующим образом:


Представление функции рядом Фурье


В данном случаи все замечания сделанные в предыдущем параграфе необходимо повторить. Обобщенный ряд Фурье, построенный для функции Представление функции рядом Фурье, связан с ней лишь формально и в общем случае эту связь обозначают следующим образом:


Представление функции рядом Фурье


Сходимость этого ряда, как и в случае тригонометрического ряда, подлежит еще исследованию.

Интеграл Дирихле Принцип локализации

Пусть Представление функции рядом Фурье будет непрерывная или кусочно-непрерывная функция с периодом Представление функции рядом Фурье. Вычислим постоянные (ее коэффициенты Фурье):


Представление функции рядом Фурье Представление функции рядом Фурье

Представление функции рядом Фурье Представление функции рядом Фурье


и по ним составим ряд Фурье нашей функции


Представление функции рядом Фурье


Как видим, здесь коэффициент Представление функции рядом Фурье мы определили по общей формуле для Представление функции рядом Фурье при Представление функции рядом Фурье, но зато свободный член ряда запишем в виде Представление функции рядом Фурье.

Если функция F(x) кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке и к тому же имеет период Представление функции рядом Фурье, то величина интеграла


Представление функции рядом Фурье

по прежнему промежутку длины Представление функции рядом Фурье не зависит от Представление функции рядом Фурье.

Действительно, имеем


Представление функции рядом Фурье


Если в последнем интеграла сделать подстановку Представление функции рядом Фурье, то он приведется к интегралу


Представление функции рядом Фурье


и лишь знаком будет отличаться от первого интеграла. Таким образом, рассматриваемый интеграл оказывается равным интегралу


Представление функции рядом Фурье


уже не содержащему Представление функции рядом Фурье.

Для того чтобы исследовать поведение ряда в какой-нибудь определенной точке Представление функции рядом Фурье, составим удобное выражение для его частичной суммы


Представление функции рядом Фурье


Подставим вместо Представление функции рядом Фурье и Представление функции рядом Фурье их интегральные выражения и подведем постоянные числа Представление функции рядом Фурье под знак интеграла:


Представление функции рядом Фурье

Представление функции рядом Фурье


Легко проверить тождество


Представление функции рядом Фурье


Воспользуемся этим тождеством для преобразования подынтегрального выражения, окончательно получим


Представление функции рядом Фурье (13)


Этот интеграл называют интегралом Дирихле, хотя у Фурье он встречается гораздо раньше.

Так как мы имеем дело с функцией от u периода Представление функции рядом Фурье, то промежуток интегрирования Представление функции рядом Фурье по сделанному выше замечанию можно заменить, например, промежутком Представление функции рядом Фурье


Представление функции рядом Фурье


Подстановкой Представление функции рядом Фурье преобразуем этот интеграл к виду


Представление функции рядом Фурье


Затем, разбивая интеграл на два: Представление функции рядом Фурье и приводя второй интеграл путем замены знака переменной тоже к промежутку Представление функции рядом Фурье, придем к такому окончательному выражению для частичной суммы ряда Фурье:


Представление функции рядом Фурье (14)


Таким образом, дело сводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержащего параметр n.

Для дальнейшего изложения материала нам потребуется одна лемма, принадлежащая Риману, которую мы оставим без доказательства.

Если функция Представление функции рядом Фурье непрерывна или кусочно-непрерывна в некотором конечном промежутке Представление функции рядом Фурье, то


Представление функции рядом Фурье


и, аналогично,


Представление функции рядом Фурье


Если вспомнить формулы, выражающие коэффициенты Фурье Представление функции рядом Фурье, то в качестве первого непосредственного следствия из леммы получается утверждение:

Коэффициенты Фурье Представление функции рядом Фурье кусочно-непрерывной функции при Представление функции рядом Фурье стремятся к нулю.

Вторым непосредственным следствием является так называемый «принцип локализации».

Взяв произвольное положительное число Представление функции рядом Фурье, разобьем интеграл в (14) на два: Представление функции рядом Фурье

Похожие рефераты: