Xreferat.com » Рефераты по математике » Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Содержание


1. Признак Даламбера

2. Признак Коши

3. Интегральный признак сходимости ряда

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Список использованных источников


1. Признак Даламбера


Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, где все Знакочередующиеся и знакопеременные ряды > 0.Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЕсли существует предел


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,


то при 0Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды<1 ряд сходится, а при Знакочередующиеся и знакопеременные ряды > 1 ряд сходится.

◄Пусть существует предел


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,


где 0Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды<1. Возьмем q такое, что Знакочередующиеся и знакопеременные ряды< q <1. Тогда для любого числа ε > 0, например, для

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,найдется номер N такой, что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды < q - Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,


В частности, будем иметь


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды < q - Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,


или

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды < q,


Откуда Знакочередующиеся и знакопеременные ряды < Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq для всех n ≥ N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды < Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq,

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды < Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq < Знакочередующиеся и знакопеременные рядыqЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды,

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды < Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq < Знакочередующиеся и знакопеременные рядыqЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды,

………………………….


Члены ряда

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+…

Не превосходят соответствующих членов ряда

Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq +Знакочередующиеся и знакопеременные рядыq +Знакочередующиеся и знакопеременные рядыqЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды+… ,

который сходятся как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+Знакочередующиеся и знакопеременные ряды+…


сходится, а значит, сходится и исходный ряд Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

В случае Знакочередующиеся и знакопеременные ряды > 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды > 1, или Знакочередующиеся и знакопеременные ряды > Знакочередующиеся и знакопеременные ряды > 0.

Следовательно, Знакочередующиеся и знакопеременные ряды 0, и ряд Знакочередующиеся и знакопеременные ряды расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. ►

Замечание. Если


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды1,


Или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.

Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:

1. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды .

◄ Для данного ряда имеем


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.


Тогда


Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды.


По признаку Даламбера ряд сходится. ►

2. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды .

◄ Имеем


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, Знакочередующиеся и знакопеременные ряды= Знакочередующиеся и знакопеременные ряды;

Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды.


Данный ряд расходится. ►


2. Признак Коши


Теорема 2 (признак Коши). Пусть дан ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, Знакочередующиеся и знакопеременные ряды . (1)


Если существует конечный предел


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,


то 1) при Знакочередующиеся и знакопеременные ряды ряд сходится;2) при Знакочередующиеся и знакопеременные ряды ряд расходится.

◄ 1) Пусть Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Возьмем число q такое, что Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Так как существует предел


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


где Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, то, начиная с некоторого номера N , будет выполняться неравенство Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

В самом деле, из определенного равенства вытекает, что для любого ε ,в том числе и для

ε = Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, найдется такой номер N , начиная с которого будет выполняться неравенство

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,


откуда Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды или что тоже,

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Отсюда получаем

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды для Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Таким образом, все члены ряда, начиная с Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, меньше соответствующих членов сходящегося ряда Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. По признаку сравнения ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды


сходится, а значит сходится и ряд(1).

2)Пусть Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Тогда, начиная с некоторого номера N для всех n > N , будет выполняться неравенство Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, или


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.


Следовательно,


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


И ряд (1) расходится. ►

Замечание. Если Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, то ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.

Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:

1. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды .


◄ Имеем


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, Знакочередующиеся и знакопеременные ряды;

Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды.


Ряд сходится. ►


2. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

◄ Здесь

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, Знакочередующиеся и знакопеременные ряды;

Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды


Ряд сходится. ►


3. Интегральный признак сходимости ряда


Теорема 3 (интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Тогда:

1) числовой ряд Знакочередующиеся и знакопеременные ряды сходится, если сходится несобственный интеграл

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды ; (1)


2) ряд Знакочередующиеся и знакопеременные ряды расходится, если расходится несобственный интеграл (1)


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


◄ Возьмем на графике функции f(x) точки с абсциссами

x1=1, x2=2, x3=3, … , xn = n

и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так, как показано рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1, x = n, y=0 и кривой y = f(x) равна


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.


Возьмем n-ю частичную сумму ряда Знакочередующиеся и знакопеременные ряды:

S n = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) ,

Тогда площадь Q+ выступающей фигуры будет равна

Q+= f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1) = S n-1

А площадь Q- входящей фигуры равна

Q- = + f(2) + f(3) + … + f(n) = S n - f(1).

Из построения и свойств функции f(x) следует, что

Q- < Q < Q+ , т.е.


S n - f(1) < Знакочередующиеся и знакопеременные ряды< S n-1.


Так как S n-1 <

Похожие рефераты: