Xreferat.com » Рефераты по математике » Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

alt="Знакочередующиеся и знакопеременные ряды" width="44" height="47" align="BOTTOM" border="0" />. ►


При исследовании ряда


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


на сходимость можно применять все достаточные признаки сходимости, установленные для знакоположительных рядов.

Замечание. Из сходимости ряда


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


сходимости ряда


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


вообще говоря, не следует, т.е. доказанная теорема дает лишь достаточное условие сходимости знакопеременного ряда.

Пример 1. Ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

сходится по признаку Лейбница, но ряд, составленный из абсолютных величин его членов,


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


– это гармонический ряд, который расходится.

Определение. Знакопеременный числовой ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.


Ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды


расходится.

Пример 2. Числовой ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

(плюс, два минуса, плюс, два минуса и т.д.) является абсолютно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов,


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды ,


сходится. Ряд из примера 1 является условно сходящимся.

Отметим следующие свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.

Теорема 6. Абсолютно сходящийся ряд при любой перестановке его членов остается абсолютно сходящимся, и его сумма не изменяется.

Замечание. Утверждение теоремы справедливо для любого сходящегося знакопостоянного ряда.

Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают.

Теорема 7. Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число A,

можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд будет иметь своей суммой число A.

Более того, члены условно сходящегося ряда можно представить так, что полученный после переустановки ряда будет расходящимся.

Пример. Рассмотрим условно сходящийся ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды ,


сумму которого обозначим через S. Переставим члены ряда так, чтобы за каждым положительным членом следовали два очередных отрицательных. Тогда получим ряд


Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Покажем, что он сходится и его сумма равна Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Рассмотрим подпоследовательность его частичных

сумм Знакочередующиеся и знакопеременные ряды:


Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды,

Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды

=Знакочередующиеся и знакопеременные ряды,

Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды

=Знакочередующиеся и знакопеременные ряды, … .


Нетрудно убедится в том, что она сходится к Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. А из того, что


Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды

Знакочередующиеся и знакопеременные рядыЗнакочередующиеся и знакопеременные ряды


получаем, что Знакочередующиеся и знакопеременные ряды существует и он равен Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Таким образом, при указанной перестановке членов ряда, мы получим сходящийся ряд, сумма которого в два раза меньше суммы исходного ряда


Список использованных источников


1. «Курс математического анализа», автор – Никольский С.М., г. Москва, изд. «Наука», 1990г.

2. «Высшая математика», автор – Щипачев А.В., г. Москва, изд. «Высшая школа», 1996г.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: