Задачи Лоповок

СЕДЬМОЙ КЛАСС

Измерение отрезков

1. Даны п прямых. Известно, что имеется 5 точек, каждая из которых является общей хотя бы для двух прямых из числа данных. Определите наименьшее возможное значение п.

2. Решите задачу 1, сопровождая решение рисунком, для числа точек 7, 9, 13.

3. Пять прямых расположены на плоскости так что име­ется 8 точек, через каждую из которых проходит не менее двух прямых из числа названных. Сколько отрезков определяют эти точки на названных прямых?

4. На прямой отмечены точки А, В, С (В между А и С). Из­вестно, что АВ ==3-см, ВС == 5 см. Пользуясь только циркулем, разделите отрезок АВ на части длиной по 1 см.

5. Точка В находится между точкам» А и С, причем АВ = Т см, ВС == 17 см. Пользуясь только циркулем, достройте на прямой АВ отрезок длиной 1 см.

6. М — середина отрезка АВ, Найдите на прямой АВ все такие точки X, которые отвечают условию: 2ХА = 3 (ХВ + ХМ).

7. От А до Р по прямолинейной дороге 35 км, остановки авто­буса расположены в точках В, С, В, Е. Зная, что АС ==12 км, ВО = 11 км, СЕ= 12 км, ВР == 16 км, найдите АВ, ВС, СО, ВЕ, ЕР.

8. Пункты А, В, С, D, Е, F, G, Н последовательно расположены вдоль прямолинейного шоссе. Найдите расстояния между каждыми двумя соседними пунктами из числа названных, зная, что АВ = 19 км, ВЕ = 21 км, СР = 19 км, ВО = 29 км, АР = 32 км, СН = 30 км, ЕН = 14 км.

9. На прямой последовательно отмечены точки Л.1, -Аз, -Аз, А^, ... так, что ААч== I» -Аг-Аа == 2, АзА^ == 3, .... Назовите отрезки с концами в указанных точках, имеющие длину 45.

10. По условию предыдущей задачи укажите два отрезка, расстояние между серединами которых равно 20.

Измерение углов

11. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол?

12. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки часов образуют прямой угол?

13. Стрелки циферблата часов не совпадают, однако если поменять их местами, то они займут согласованное положение. Возможно ли это? Сколько раз в сутки может возникать такое положение стрелок?

14. Можно ли без помощи транспортира или других угломер­ных инструментов (приборов) построить угол в 1°, имея шаблон угла в 13°?

15. Решите задачу 14 при условии, что имеется шаблон угла в 17°.

16. Из точки О выходят 9 лучей, образующих углы по 40° (рис. 3). Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

17. Точка О — начало восьми лучей, образующих углы в 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°. Каких углов на рисунке больше — острых или тупых?

18. Решите задачу 17 при условии, что лучи, исходящие из точки О, образуют последовательно углы в 8°, 16°, 24°, 32°, 40°, 48°, 56°, 64°, 72°.

19. По условию задачи 17 определите наличие развернутых углов.

20. В одной полуплоскости с границей АВ построены углы:

/- ВАС = 38°, ^ САВ == 68°, /- ВАЕ == 85°, ^ ЕАК == 99°. Определите градусную меру угла КАС.

21. В одной полуплоскости с границей АВ построены непе­рекрывающиеся треугольники с общей вершиной А. У всех треугольников углы при этой вершине по 24°. Сколько таких треугольников можно построить?

Смежные и вертикальные углы

22. Треть одного и три пятых другого из смежных углов дают в сумме прямой угол. Найдите эти смежные углы.

23. Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определите градусные меры этих углов.

24. Два угла имеют общую вершину, их соответственные стороны взаимно перпендикулярны. Могут ли эти углы оказать­ся вертикальными?

25. По условию задачи 17 определите, есть ли на рисунке вертикальные углы. Если да, то сколько пар таких углов?

26. Можно ли градусные меры двух смежных углов за­писать только нечетными цифрами; только четными цифрами?

27. А 0В и СОВ — углы с соответственно перпендикулярны­ми сторонами. Верно ли, что биссектрисы углов АОВ и ВОС лежат на одной прямой?

28. На листе бумаги изображен угол, но в пределах листа находятся его вершина и столь малые части сторон, что для его измерения нельзя воспользоваться транспортиром. Как опреде­лить градусную меру этого угла?

Перпендикуляр к прямой

29. Можно ли с помощью шаблона угла в 27° построить две взаимно перпендикулярные прямые?

30. Биссектрисы двух углов, имеющих общую сторону, взаимно перпендикулярны. Являются ли эти углы смежными?

31. Прямые а и Ь содержат биссектрисы углов, образовав­шихся при пересечении прямых о и Ь. Содержат ли прямые а и Ь биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении пря­мых СИ И &1?

32. Через точку О прямой АВ в одной полуплоскости по­строены лучи ОС и 0В так, что /- АОС = /- ВОВ. Докажите, что биссектриса угла СОВ перпендикулярна АВ.

Первый признак равенства треугольников

33. Докажите, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.

34. В концах отрезка АВ в полуплоскости с границей АВ построены АС и ВВ — равные перпендикуляры к АВ. До­кажите, что перпендикуляр к АВ, проходящий через его середину, перпендикулярен к отрезку СВ. Делит ли он пополам отрезок СВ.

35. На рисунке 4 отмечены равные отрезки и равные углы. Выясните, делит ли прямая I пополам отрезок ЕР. Перпенди­кулярны ли I и ЕР

36. Вершина А — общее начало двух лучей, соответственно перпендикулярах сторонам АВ и АС треугольника АВС и лежащих в одной полуплоскости с границей АС. На них отложены отрезки АВ и АЕ, равные названным сторонам (рис. 5). Докажите, что ВС == ВЕ.

37. Точка В находится между А и С. В одной полуплоскости построены перпендикуляры к АС: АВ == ВС и СЕ === АВ. Точ­ка О — середина ВВ, точка М — середина ВЕ (рис. 6). Докажите, что АО = СМ.

Второй признак равенства треугольников

38. На сторонах угла А взяты такие точки В и С, что АВ == = АС. Прямые ВВ -1_ АВ и СЕ А- АС пересекаются в точке О. Лежит ли она на биссектрисе угла А7

39. Как с помощью шаблона прямоугольного треугольника АВС построить биссектрису данного угла: а) острого, б) прямого?

40. Как с помощью шаблона остроугольного треугольника •АВС построить биссектрису данного угла?

41. Решите задачу 37, считая, что точки О и М не середины отрезков, а лежат на биссектрисах углов ВАВ и ВСЕ.

42. На сторонах угла А отмечены точки В, С и В, Е так, что АВ = АВ, ВС == ВЕ. Докажите, что точка О пересечения ВЕ и СВ лежит на биссектрисе угла А. Как использовать это при построении на местности биссектрисы угла без помощи угломерных инструментов?

Равнобедренный треугольник

43. Стороны. АВ и ВС треугольника АВС равны. Бис­сектрисы углов, смежных с углами. ВАС и ВСА, пересеклись в точке О. Докажите, - что она лежит на биссектрисе угла В.

44. С помощью шаблона острого угла разделите данный отрезок на 2ⁿ равных частей (n — натуральное число, большее 1).

45. Докажите, что серединный перпендикуляр основания равнобедренного треугольника проходит через вершину треугольника.

46. Серединные перпендикуляры боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС пересекли - АС в точках М и N. Докажите, что ВМ == ВN.

47. Точки А, В, С, D, Е расположены так, что АВ == ВС = СD = DЕ = ЕА, ^ ВАЕ == /- ВЕА. Равыыли ухдыАВСи ВВС?

48. Через середину отрезка ВС вострое» к нему перпенди­куляр- ОМ; тупые углы АВС и ВСВ равны- Зная,, что АВ == = ВС и ^. ВАА == А. СВВ ( ( риc. 7), докажите, что лучи АА и ВВ пересекаются на ОМ.

49. На рисунке 8 АС == 5Р, ^- САВ == ^ ДЯ4 = 90°, АМ и ДМ — биссектрисы углов САВ и ОВ-4. Лучи СМ и .ОМ пересекают прямую АВ в точках Я" и 2<. Докажите, что АЬ = 5ДГ.

50. Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делив пополам боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний. Докажите.

51. Д АВС — равносторонний. Лучи АВ, ВЕ, СМ попарно пересекаются внутри треугольника, - причем углы ВАВ, СВЕ и АСМ равны (рис. 9). Являются ли точки В, Е, М вершинами равностороннего треугольника?

Третий признак равенства треугольников

52. Медианы АВ и ВО треугольника АВС, у которого АС = ВС, продолжены так, что ВЕ = АВ и ОК = ВО. Докажите, что /_ АКС = /_ ВЕС.

53. Докажите, что треугольники равны, если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника-

54. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого треугольника.

55. Докажите, что треугольник, у которого равны, две высоты, равнобедренный.

66. Равны ли два треугольника, - если основание и проведенная к нему высота ;и медиана одного треугольника соответствен­но равны основанию и проведенным к нему высоте и медиане другого треугольника?

57. Если основание и высоты, проведенные к боковым сторонам одного остроугольного треугольника, соответственны основанию и высотам, проведенным к боковым сторонам друго­го остроугольного треугольника, то эти треугольники равны. Докажите.

Периметр треугольника

58. На отрезке АВ длиной -38 см .между А и В отмечены точки С, Са,Сз, ...,-Сп и построены .равносторонние треугольники с основаниями АС>, СгСа, СзСа,,..., С.пВ. Зависит ли сумма длин сторон треугольников, лежащих вне отрезка АВ, от количества отмеченных точек я их размещения на АВ (рис. 10),?

59. Периметр треугольника больше его сторон на 32, 29 и 23 см. Определите периметр треугольника.

60. Длины сторон треугольника АВС а, Ь, с. Известно, что

периметр больше а + Ь в — раза, больше а + с в -^- раза. Во сколько раз >он больше Ь -4- с?

Простейшие построения

61. Постройте угол, который на 25 % меньше данного угла.

62. Постройте угол, который вдвое меньше разности двух

данных углов.

63. Опустите из данной точки перпендикуляр на данную

прямую с помощью шаблона острого угла.

64. Разделите данный отрезок пополам с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, меньшего половины длины отрезка.

65. Разделите данный отрезок на 8 равных частей с помощью шаблона острого угла.

Построения с помощью циркуля и линейки

66. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне .и медиане, проведенной к этой стороне.

67. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии я сумме боковых сторон.

68. Постройте треугольник по основанию, медиане, проведен­ной к основанию, и высоте, проведенной к боковой стороне.

69. Постройте прямоугольный треугольник по катету и разности двух других .'сторон.

70. Ввв 'отрезка АВ построены такие точки С и О, что АС == == ВС и АВ == ВВ. Верно ли, что прямая СВ перпендикуляр на АВ? Как воспользоваться этой задачей при построении серединного перпендикуляра отрезка, выполняя построение в одной полуплоскости?

71. Точки А и В находятся на сторонах угла. Построить

отрезок, перпендикулярный АВ и имеющий середину на А1, а концы на сторонах угла.

72. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, проведенной к боковой стороне.

73. Постройте треугольник по основанию, углу при основа­нии и разности боковых сторон.

74. Как опустить из точки М перпендикуляр на прямую I, ес­ли обычное построение невозможно, так как перпендикуляр проходит близко к краю доступной части плоскости?

75. Точки А и В находятся по разные стороны прямой I. Найдите такую точку М, чтобы биссектриса угла АМВ находилась | на I.

76. Постройте треугольник АВС по вершине А и прямым ! 1 и 1г, на которых лежат биссектрисы углов В и С треугольника.

Признаки параллельности прямых

77. При пересечении прямых АВтя. СВ прямой I образовались 8 углов, из которых 4 — равные тупые углы. Параллельны ли прямые АВ и СО?

78. Докажите, что два перпендикуляра к сторонам угла, который меньше развернутого, пересекаются.

79. На рисунке 11 даны величины углов В, С, О, Е. Парал­лельны ли прямые АВ и ЕР?

80. Две прямые параллельны. Две другие параллельные прямые пересекают их в точках А та В, С та О. Равны ли треуголь­ники АВС и ОСВ?

81. Прямые АВ и СО параллельны. Прямая пересекает их в точках Е и К. Общий перпендикуляр параллельных прямых делит пополам угол между ЕК и биссектрисой угла ВЕК. Найдите /- СКЕ.

82. Как с помощью шаблона прямого угла разделить попо­лам данный отрезок?

83. Как с помощью шаблона острого угла построить перпен­дикуляр к данной прямой в данной точке?

84. Края линейки параллельны, ее ширина меньше отрезка АВ. Как с помощью этой линейки разделить пополам отрезок АВ?

85. Как с помощью линейки с параллельными краями построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку этой прямой?

86. Даны три параллельные прямые и точка М. Постройте прямую, проходящую через точку М так, чтобы разность длин отрезков, отсекаемых на этой прямой данными параллельными прямыми, была равна а.

Сумма углов треугольника

87. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ и АС. Из В и С опущены перпендикуляры на стороны угла. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров лежит на биссектрисе

угла А.

88. По данным рисунка 12 определите, есть ли там парал­лельные прямые.

89. Равны ли равнобедренные прямоугольные треугольники, периметры которых равны?

90. Стороны двух треугольников соответственно перпенди­кулярны. Равны ли углы этих треугольников?

91. ВМ и СМ — биссектрисы внешних углов при основании равнобедренного треугольника АВС. Точки А и А-г симмет­ричны А относительно названных биссектрис. Докажите, что А АААу.—равнобедренный.

92. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что этот треуголь­ник — прямоугольный.

93. Отношение двух внутренних углов треугольника 2:3, а внешних углов при тех же вершинах —11:9. Найдите величи­ну третьего внешнего угла.

94. Точка М находится внутри треугольника АВС. Найдите сумму углов АМВ, АМС и ВМС.

95. Равнобедренные треугольники равны, их высоты, прове­денные к основаниям, совпадают. Как делятся, пересекаясь, их боковые стороны?

96. Постройте треугольник по двум углам и разности сторон, лежащих против этих углов.

97. В треугольнике АВС АС == ВС. На этих сторонах отме­чены такие точки В, Е, Р, что ВВ == ВЕ = ЕР == РС'== АВ (рис. 13). Найдите углы треугольника АВС.

98. Биссектрисы внешних углов треугольника АВС попарно пересекаются в точках 0, Оч, Оз. Докажите, что А С^ОгОз остро­угольный, и выразите его углы через углы треугольника АВС.

99. Биссектрисы двух внутренних углов остроугольного треугольника пересекают противолежащие стороны под углами 63° и 81°. Найдите углы треугольника.

100. Биссектриса угла при основании равнобедренного тре­угольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Опреде­лите градусные меры углов треугольника АВС.

101. Один из углов треугольника равен полу сумме двух Других, его стороны относятся, как 1:2. Найдите величины углов треугольника.

102. В треугольнике АВС АВ == АС, /- ВАС = 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МВС = 10°, /- МСВ== == 30°. Найдите /.АМВ.

103. В треугольнике АВС АВ = ВС, /-В = 20°. На стороне АВ взята такая точка М, что ВМ == АС. Найдите /- МСА.

104. В равнобедренном треугольнике АВС /- В == 100 . Внутри треугольника взята такая точка М, что ^- МАВ == 10°, ^_ М&А = 20°. Найдите ^. ВМС.

105. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренно­го треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треуголь­ных частей с такими же углами, как у начального треугольника?

Прямоугольный треугольник

106. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедрен­ного треугольника, делит пополам угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найдите углы равнобедрен­ного треугольника.

107. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на равнобедренные треугольники.

108. Если острые углы прямоугольного треугольника относя­тся, как 1:3, то биссектриса наибольшего угла равна одному е з катетов. Докажите.

109. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме гипотенузы с проведенной к ней медианой.

110. В треугольнике АВС /- А = 15°, ^ В == 30°. Докажите, что перпендикуляр СМ к АС делит сторону АВ на такие частя АМ и МВ, что АМ = 2 ВС (рис. 14).

111. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три части. Найдите углы треугольника.

112. На прямой отложены отрезки АВ == 2, ВС == СВ =- 1, ВЕ = 2. Из точки М, находящейся вне этой прямой, все названные отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.

113. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик построил из вершины прямого угла ВАС такой луч АМ, что ^- ВАМ = — ^- С (рис. 15). Как он хотел доказать теорему?

114. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника Шар толкнули по биссектрисе острого угла. Отразившись от бортов в точках В, Е, К, шар вернулся по пройденному пути (рис. 16). Найдите острые углы треугольника.

115. Бильярд имеет форму прямоугольного треугольник? АВС. Шар толкнули по биссектрисе прямого угла С. Отразившись от бортов в точках К, Е, М, шар вернулся по пройден ному пути. Найдите острые угль! треугольника.

116. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раз;

больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

117. Д АВС — прямоугольный, биссектрисы его острых углов — ВВ и СЕ, отрезки ВК и ЕМ — перпендикуляры к ВС (рис. 17). Найдите /- КАМ.

11в. Из города М по двум прямолинейным дорогам выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Через 20 мин после выезда мотоциклист прибыл в пункт В» а велосипедист в пункт А, при этом А МАВ оказался прямоугольным. Еще через 30 мин путешественники были в таких пунктах С и О, что А МСВ оказался равносторонним. Через сколько часов после этого они окажутся » таких пунктах Р и Т, что А МРТ будет прямоугольным?

119. В прямоугольном треугольнике АВС АВ == Асг Внутри треугольника взята такая точка М, что /- МАВ == ^- МВА == == 15°. Найдите А. ВМС.

Окружность

120. Докажите, что из двух пересекающихся хорд, не проходящих через центр окружности, хоть одна не делится пополам.

121. Докажите, что из центра вписанной окружности каждая сторона треугольника видна под тупым углом.

122. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов. Докажите, что диаметр окружности равен периметру прямоугольного треугольника.

123. На сторонах прямого угла М отмечены такие точки А и В, С и В, что ВО == АВ 4- СВ. Докажите, что разность диаметров окружностей, вписанных в треугольники МВВ а МАС, равна АС.

124. Катеты прямоугольного треугольника а, Ь, гипотенуза

с. Докажите, что радиус вписанной окружности г == ^д ~ ^с . &

125. Постройте две окружности с центрами на данной пря­мой в касающиеся одна другой в данной точке М и касающиеся другой данной прямой Ь.

126. Окружности с центрами 0 и Оу. касаются внешним образом. Окружность с центром Оэ и радиусом 12 см касается их внутренним образом. Определите периметр треугольника 010а0з.

127. Какую фигуру образуют все точки плоскости, из которых данная окружность видна под прямым углом?

128. Даны точки А, В, С, В. Постройте окружность, которая проходит через точки А и В» а касательные к ней, проведенные из точек С и В, равной длины.

129. Даны окружность М точка М вне ее. Проведите через М прямую, пересекающую окружность в точках, расстояние между которым» равно с.

130- Постройте окружность, которая касается двух дан­ных окружностей, причем одной из них — в данной точке М.

181. Постройте треугольник АВС по основанию, высоте, проведенной к боковой стороне, и радиусу описанной окруж­ности.

132. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведенным к основанию, и радиусу описанной окружности.

133. Постройте треугольник АВС, если дана прямая, "а которой лежит биссектриса угла А, и точка касания сторон АВ и ВС вписанной в треугольник окружности.

134. Постройте две окружности, каждая из которых касается одной из равных сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Докажите, что эти окружности равны, а прямая, проходящая через их центры, параллельна основанию тре­угольника.

Вписанные углы

135. Докажите теорему о вписанных углах, пользуясь рисунком 18.

136. Треугольник АВС — остроугольный, ВМ и СМ — перпендикуляры к АВ и АС. Докажите, что точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.

137. О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Докажите, что центр окружности, проходящей через точки А, В, О, лежит на прямой СО.

138. Два угла треугольника имеют величины 52° и 58°. Вписанная окружность касается сторон треугольника в точках К, Ъ, М. Определите величины углов треугольника КЬМ.

139. Один из углов треугольника 40°. Стороны этого угла видны из центра описанной окружности под углами, которые относятся, как 2 : 3. Найдите эти углы.

140. Найдите углы треугольника, две стороны которого видны из центра описанной окружности под углами: а) 122° и 104°; б) 29° и 47°.

141. 0 и Оч — центры вписанной и описанной окружно­стей треугольника АВС. Зная, что ^- АОВ = //- АОчВ, най­дите /- С.

142. АА и ВВ — высоты треугольника АВС. Постройте треугольник АВС по точкам А, В и прямой АВ.

143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведенной к одному из катетов.

144. Постройте треугольник АВС по высоте АВ, углу между ВС и медианой АЕ, радиусу описанной окружности.

145. Прямая ВЕ проходит через вершину А треугольника АВС и касается описанной около треугольника окружности. Докажите, что углы ВАВ и ЕАС равны соответствующим углам треугольника.

146. В окружность вписан равносторонний треугольник АВС, М — точка окружности, находящаяся внутри угла АСВ. Докажите, что МА+ МВ = МС.

147. Вершины треугольника АВС находятся в точках I, V, VIII циферблата часов. Построены высоты АМ и СВ и перпендикуляр ВЕ к АС. Докажите, что АЕ = СМ (рис. 19).

148. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на 4 равные части. Найдите величины углов треугольника.

149. Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили угол на части, которые относятся, как 4:7:4. Найдите величины углов треугольника.

150. В треугольнике АВС на стороне ВС есть