Xreferat.com » Рефераты по математике » Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода

Размещено на /

Содержание


1) Интеграл по поверхности первого рода

2) Специальные векторные поля

3) Теорема Стокса

4) Потенциальное поле

Литература

векторное потенциальное поле интеграл

Интеграл по поверхности первого рода


Физические задачи приводящие к поверхностному интегралу могут быть двух типов:

1) Интеграл по поверхности первого рода не связана с направлением нормали к поверхности

Например, задачи об отыскании массы или заряда распределенных по поверхности: Интеграл по поверхности первого рода

2) Интеграл по поверхности первого рода- зависит от направления нормали Интеграл по поверхности первого рода-задача об отыскании потока жидкости в направлении нормали.

Дано: Интеграл по поверхности первого рода-непрерывная функция на Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода-поверхность: Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода


1) Разобьем поверхность на n частей Интеграл по поверхности первого рода

2) Возьмем точку Интеграл по поверхности первого родаИнтеграл по поверхности первого рода

3) Вычислим Интеграл по поверхности первого рода-плотность

4) Интеграл по поверхности первого рода-масса


Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода


Следовательно


Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода,


где D- проекция Интеграл по поверхности первого рода на плоскость XOY

Пример.

Интеграл по поверхности первого рода,Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода


Пример. Определить массу, распределенную на поверхности Интеграл по поверхности первого рода, плотностью Интеграл по поверхности первого рода

Решение.


Интеграл по поверхности первого рода

Специальные векторные поля.

Дивергенция.

Соленоидальные поля. Свойства.

Интеграл по поверхности первого рода

1. Определение дивергенции


Интеграл по поверхности первого рода


Теорема Остроградского -Гаусса


Интеграл по поверхности первого рода


Пример. Интеграл по поверхности первого рода

Найти поток вектора Интеграл по поверхности первого рода направленный в отрицательную сторону оси Ох, через часть параболоида Интеграл по поверхности первого рода отсекаемый плоскостью Интеграл по поверхности первого рода

Решение:


Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода


Ответ.Интеграл по поверхности первого рода

Свойства соленоидальных полей.

Определение. Векторное поле , для всех точек которого Интеграл по поверхности первого рода называется соленоидальным в области Интеграл по поверхности первого рода. Соленоидальное поле свободно от источников.

Свойства соленоидальных полей.

Если соленоидальное поле задано в односвязной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность этой области равно нулю.

Пусть Интеграл по поверхности первого рода- соленоидальное поле в односвязной области. Тогда поток вектора Интеграл по поверхности первого рода через любую поверхность Интеграл по поверхности первого рода натянутую на заданный контур Г, не зависит от вида этой поверхности, а зависит лишь от контура.

Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода применим теорему Остроградского-Гаусса.


Интеграл по поверхности первого родаИнтеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода


Свойства векторной трубки.

Определение. Векторной линией называется линия в каждой точке которой направление касательной к ней совпадает с направлением поля Интеграл по поверхности первого рода.


Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода векторной линии Интеграл по поверхности первого рода.

Возьмем в поле Интеграл по поверхности первого рода замкнутый контур Интеграл по поверхности первого рода и проведем через его точки векторные линии

Любая другая векторная линия проходящая через точки контура Интеграл по поверхности первого родапроходит либо внутри трубки либо вне трубки.

В случае потока жидкости , векторная трубка -это часть пространства, которую заполняет при своем перемещении объем жидкости.

Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой трубки.

Если поле соленоидальное в односвязной области Интеграл по поверхности первого рода, то интенсивность векторной трубки постоянна вдоль всей трубки.

Доказательство:


Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода- боковая поверхность, векторные линии перпендикулярны Интеграл по поверхности первого рода. Следовательно Интеграл по поверхности первого рода (нормаль к Интеграл по поверхности первого рода есть нормаль поля Интеграл по поверхности первого рода т.е. Интеграл по поверхности первого рода) Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода и Интеграл по поверхности первого рода имеют противоположные направления.


Интеграл по поверхности первого рода.


Поток Интеграл по поверхности первого рода через любое поперечное одно и тоже если Интеграл по поверхности первого рода соленоидальное.

В соленоидальном поле Интеграл по поверхности первого рода векторные линии не могут ни начинаться ни заканчиваться внутри поля. Они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви.

Доказательство:

По свойству 3 интенсивность трубки одинакова , хотя поперечное сечение в точке М равно нулю, в т М Интеграл по поверхности первого рода. Это невозможно т.к. Интеграл по поверхности первого рода непрерывен в любой точке.


Интеграл по поверхности первого родаИнтеграл по поверхности первого рода


Теорема Стокса.

Вихрь. Ротор.

Циркуляция.

1. Теорема Стокса


Интеграл по поверхности первого рода.


С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора или вихря. Локальной характеристикой поля Интеграл по поверхности первого рода связанной с завихренностью является ротор.

Плоское поле.


Интеграл по поверхности первого рода


S площадь внутри Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода поле скоростей текущей жидкости Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода


В поле Интеграл по поверхности первого рода поместим колесо с лопастями, вдоль Интеграл по поверхности первого рода. Частицы жидкости, действуя на эти лопасти создадут вращательный момент, суммарное действие которых приведут колесо во вращение вокруг своей оси. Вращательное действие поля скоростей жидкости Интеграл по поверхности первого рода будет в любой точке М характеризовать Интеграл по поверхности первого родана касательной Интеграл по поверхности первого рода к окружности Интеграл по поверхности первого рода, т.е. скалярное произведение Интеграл по поверхности первого рода. Суммирование Интеграл по поверхности первого рода вращательных действии жидкости по всему контуру колесика приведут к понятию циркуляции вектора Интеграл по поверхности первого рода=Интеграл по поверхности первого рода

Будет определять угловую скорость вращения колеса, а знак циркуляции покажет в какую сторону вращается колесико относительно выбранного направления.

Циркуляция любого поля Интеграл по поверхности первого рода определяет его вращательную способность вокруг данного направления и характеризует завихренность поля Интеграл по поверхности первого рода в этом направлении.

Чем меньше Интеграл по поверхности первого рода тем больше циркуляция, больше завихренность.


Интеграл по поверхности первого рода. Максимум вихря, если Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого рода

Интеграл по поверхности первого родаИнтеграл по поверхности первого рода- плотность циркуляции Интеграл по поверхности первого родав точке Интеграл по поверхности первого рода.


Если Интеграл по поверхности первого рода пространственное поле, то можно говорить о завихренности в направлении Интеграл по поверхности первого рода.


Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода Интеграл по поверхности первого родаИнтеграл по поверхности первого рода- завихренности в направлении Интеграл по поверхности первого рода.

Определение: Интеграл по поверхности первого рода в точке Интеграл по поверхности первого рода называется вектор, проекция которого на каждое направление Интеграл по поверхности первого рода равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру Интеграл по поверхности первого рода в плоской области Интеграл по поверхности первого рода, перпендикулярной этому направлению Интеграл по поверхности первого рода, к величине площади S этой области, когда Интеграл по поверхности первого рода, а область Интеграл по поверхности первого рода стягивается в точке Интеграл по поверхности первого рода т. е.,


Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода- контур лежащий в плоскости перпендикулярной к вектору Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода


Теорема Стокса. Интеграл по поверхности первого рода-поверхностно-односвязная область. Интеграл по поверхности первого рода- кусочно- гладкий контур в Интеграл по поверхности первого рода, Интеграл по поверхности первого рода-кусочно-гладкая поверхность натянутая на Интеграл по поверхности первого рода.


Интеграл по поверхности первого рода

Следовательно циркуляция вектора Интеграл по поверхности первого рода вдоль Интеграл по поверхности первого рода равна потоку Интеграл по поверхности первого рода- вихря Интеграл по поверхности первого рода через Интеграл по поверхности первого рода в направлении Интеграл по поверхности первого рода

Теорема 2.


Интеграл по поверхности первого рода

В частности


Интеграл по поверхности первого рода.Интеграл по поверхности первого родаИнтеграл по поверхности первого рода

Пример. Найти циркуляцию Интеграл по поверхности первого рода по сечению сферы Интеграл по поверхности первого рода плоскостью Интеграл по поверхности первого рода.

Решение.


Интеграл по поверхности первого рода


Интеграл по поверхности первого рода


Потенциальное поле.

Свойства.

Потенциал поля.

Восстановление потенциала U(M) по Интеграл по поверхности первого рода

Потенциальное поле.

Определение. Векторное поле Интеграл по поверхности первого рода называется потенциальным в области

Похожие рефераты: