Xreferat.com » Рефераты по математике » Прямое дискретное преобразование Лапласа

Прямое дискретное преобразование Лапласа

Предмет: Теория Автоматического Управления

Тема: ПРЯМОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Введение


Динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях. Удобным методом для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа. Дискретное преобразование Лапласа является обобщением обычного преобразования Лапласа на дискретные функции.

Одной из важнейших особенностей преобразования Лапласа, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

1. Прямое дискретное преобразование Лапласа


Преобразование Лапласа для непрерывных оригиналов имеет вид:


Прямое дискретное преобразование Лапласа (1)


Получим формулы дискретного преобразования Лапласа. Для выхода импульсного элемента можно записать соотношение


Прямое дискретное преобразование Лапласа (2)


Подставив это выражение в формулу преобразования Лапласа, получим


Прямое дискретное преобразование Лапласа (3)


При этом получили одну из формул дискретного преобразования Лапласа, которая имеет вид:


Прямое дискретное преобразование Лапласа (4)

По сравнению с обычным преобразованием Лапласа для непрерывных оригиналов, интеграл заменен на сумму, а непрерывная переменная -t на дискретную - nT.

Пример 1. Определить дискретное преобразование Лапласа для единичной функции x (t) = 1 (t).

Решение: Применив формулу дискретного преобразования Лапласа, получим


Прямое дискретное преобразование Лапласа


Если изображения непрерывных сигналов являются степенными уравнениями - f (pn), то изображения дискретных функций являются показательными уравнениями - f (epnT), следовательно, к ним нельзя применять аппарат теории непрерывных систем. Выполнив подстановку z = epT в формуле (4), получим


Прямое дискретное преобразование Лапласа (5)


Получили вторую формулу дискретного преобразования Лапласа, которое называется z-преобразованием. При использовании z- преобразования получаем степенные уравнения, что позволяет применять методы исследования непрерывных систем для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.

Пример 2. Определить дискретное изображение F (z), если оригинал f (t) имеет вид (рис.1):

Рис. 1


Решение: Функцию F (z) можно представить в виде ряда


Прямое дискретное преобразование Лапласа


Получили дискретное преобразование исходной непрерывной функции.


2. Дискретное преобразование Лапласа в общем виде


Для выхода импульсного элемента можно записать соотношение


Прямое дискретное преобразование Лапласа (6)


Для нахождения изображения x* (p) воспользуемся теоремой умножения в комплексной области.

Изображение произведения равно свертке изображений

Прямое дискретное преобразование Лапласа

Если Прямое дискретное преобразование Лапласа то

Прямое дискретное преобразование Лапласа (7)


На основании теоремы Коши о вычетах этот интеграл можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции.


Прямое дискретное преобразование Лапласа (8)


Это третья формула прямого дискретного преобразования Лапласа.

Пример 3. Определить дискретное преобразование Лапласа для еди-ничной функции.

Решение: Функции x (t) = 1 (t) соответствует изображениеПрямое дискретное преобразование Лапласа

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность. s = 0, s1 = 0, n = 1, m = 1.

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах по полюсам подынтегральной функции


Прямое дискретное преобразование Лапласа


Пример 4. Определить дискретное преобразование Лапласа для линейнорастушей функции x (t) = t.

Решение: Функции x (t) = t соответствует изображениеПрямое дискретное преобразование Лапласа.

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность. s2 = 0, s1 = 0, n = 1, m =

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах по полюсам подынтегральной функции


Прямое дискретное преобразование Лапласа


Пример 5. Определить дискретное преобразование Лапласа для экспоненциальной функции x (t) = e-at.

Решение: Функции x (t) = e-at соответствует изображение


Прямое дискретное преобразование Лапласа


Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность. s+a = 0, s1 = - a, n = 1, m = 1.

Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах по полюсам подынтегральной функции


Прямое дискретное преобразование ЛапласаПрямое дискретное преобразование ЛапласаПрямое дискретное преобразование ЛапласаПрямое дискретное преобразование Лапласа

Для нахождения дискретных изображений можно использовать любую из рассмотренных выше форм дискретного преобразования Лапласа. Краткая таблица z-преобразований приведена в Приложении 3.


3. Модифицированное дискретное преобразование Лапласа


После временного квантования непрерывного сигнала на выходе импульсного элемента получим дискретную функцию, соответствующую решетчатой функции, которая представляет значение непрерывного сигнала в дискретные моменты времени срабатывания импульсного элемента.

Заданному непрерывному сигналу соответствует одна решетчатая функция, а значит и одна дискретная функция. Обратная задача неоднозначна, т.е. дискретной функции соответствует бесконечное множество непрерывных функций (рис.2а).

Чтобы получить промежуточные значения решетчатой функции, а значит и непрерывного сигнала, необходимо заставить срабатывать ИЭ с запаздыванием (опережением). Величина сдвига должна изменяться в пределах такта. Если время сдвига обозначить eТ, то 0 Ј e Ј 1.

Если e = 0 сдвиг отсутствует, если e = 1 сдвиг на 1 такт.

Направление сдвига безразлично условимся сдвигать в сторону опе-режения. Сдвигать можно как решетчатую функцию, так и момент сра-батывания ИЭ. В соответствии с теоремой сдвига, сдвигу в области оригиналов соответствует умножение на e±pT в области изображений.


Прямое дискретное преобразование Лапласа (9)

При этом: x* (t) Юx* (t,e); x [nT] Юx [nT,e] ;

x (p) Юx (p,e) =x (p) epTe; x (z) Юx (z,e).

На схеме это можно обозначить следующим образом (рис.2б)


Прямое дискретное преобразование ЛапласаПрямое дискретное преобразование Лапласа

а) б)

Рис. 2


Прямое дискретное преобразование ЛапласаФормулы обычного дискретного преобразования Лапласа и соответствующие им формулы модифицированного дискретного преобразования имеют вид

Прямое дискретное преобразование Лапласа


Формулы, использующие вычеты

Прямое дискретное преобразование ЛапласаПрямое дискретное преобразование Лапласа


Применение метода модифицированного z -преобразования для анализа дискретных систем управления аналогично применению обычного преобразования Лапласа для непрерывных систем.

Пример 6. Определить модифицированное дискретное преобразование Лапласа - x* (p,e), если x (t) = e-at.

Решение: Функции x (t) = e-at соответствует изображение

Прямое дискретное преобразование Лапласа


Рассмотрим решение с использованием формулы (4).


ЕслиПрямое дискретное преобразование ЛапласатоПрямое дискретное преобразование Лапласа


При этом модифицированное преобразование имеет вид


Прямое дискретное преобразование Лапласа


Рассмотрим решение с использованием третьей формулы (8).

Записываем характеристическое уравнение и определяем значения полюсов, их количество и кратность


s + a = 0, s1 = - a, n = 1, m = 1.


Находим дискретное изображение, используя теорему Коши о вычетах


Прямое дискретное преобразование Лапласа

Литература


Вандер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. - М., ИЛ, 1952

Справочник по теории автоматического управления. /Под ред.А. А. Красовского - М.: Наука, 1987. - 712с.

Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. - М., Наука, 1980. - 336 с.

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - М, Физматгиз, 1974. - 542 с.

Микусинский Я. Операторное исчисление. - М., ИЛ, 1956

Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - 2-е. - Спб: Питер, 2006. - С.751.

М.А. Павлейно, В.М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. - СПб: 2007. - С.160.

Похожие рефераты: