Xreferat.com » Рефераты по математике » Определенный интеграл

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Определенный интеграл

Содержание


Лекция 1. Определенный интеграл

1. Понятие определенного интеграла

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Основные свойства определенного интеграла

4. Формула Ньютона–Лейбница

5. Замена переменной в определенном интеграле

6. Интегрирование по частям

Лекция 2. Применение определенных интегралов. несобственные интегралы

1. Площадь криволинейной трапеции

2. Объем тела вращения

3. Длина дуги плоской кривой

4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

5. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Литература


Лекция 1. Определенный интеграл


Понятие определенного интеграла


Пусть функция Определенный интеграл определена на отрезке Определенный интеграл, Определенный интеграл. Выполним следующие операции:

разобьем отрезок Определенный интеграл точками Определенный интеграл на n частичных отрезков Определенный интеграл;

в каждом из частичных отрезков Определенный интеграл, Определенный интеграл выберем произвольную точку Определенный интеграл и вычислим значение функции в этой точке: Определенный интеграл;

найдем произведения Определенный интеграл, где Определенный интеграл – длина частичного отрезка Определенный интеграл, Определенный интеграл;

составим сумму


Определенный интеграл, (1)


которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма Определенный интеграл представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки Определенный интеграл, а высоты равны Определенный интеграл соответственно (рис. 1). Обозначим через Определенный интеграл длину наибольшего частичного отрезка Определенный интеграл;

найдем предел интегральной суммы, когда Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 1


Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка Определенный интеграл на частичные отрезки, ни от выбора точек Определенный интеграл в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл и обозначается Определенный интеграл.

Таким образом, Определенный интеграл.

В этом случае функция Определенный интеграл называется интегрируемой на Определенный интеграл. Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, Определенный интеграл – подынтегральной функцией, Определенный интеграл – подынтегральным выражением, Определенный интеграл – переменной интегрирования; отрезок Определенный интеграл называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл, то она интегрируема на этом отрезке.


Геометрический смысл определенного интеграла


Пусть на отрезке Определенный интеграл задана непрерывная неотрицательная функция Определенный интеграл. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).


Определенный интеграл

Рис. 2

Определенный интеграл Определенный интеграл от неотрицательной функции Определенный интеграл с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции Определенный интеграл, слева и справа – отрезками прямых Определенный интеграл и Определенный интеграл, снизу – отрезком Определенный интеграл оси Ох.


3. Основные свойства определенного интеграла


Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: Определенный интеграл.

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: Определенный интеграл

Если Определенный интеграл, то, по определению, полагаем Определенный интеграл

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: Определенный интеграл

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:


Определенный интеграл.


Если функция Определенный интеграл интегрируема на Определенный интеграл и Определенный интеграл, то


Определенный интеграл.


(теорема о среднем). Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл, то на этом отрезке существует точка Определенный интеграл, такая, что Определенный интеграл.


4. Формула Ньютона–Лейбница


Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл и Определенный интеграл – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

Определенный интеграл, (2)


которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность Определенный интеграл принято записывать следующим образом:


Определенный интеграл,


где символОпределенный интеграл называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:


Определенный интеграл.


Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную Определенный интеграл для подынтегральной функции Определенный интеграл; на втором – находится разность Определенный интеграл значений этой первообразной на концах отрезка Определенный интеграл.

Пример 1. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. Для подынтегральной функции Определенный интеграл произвольная первообразная имеет вид Определенный интеграл. Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: Определенный интеграл. Тогда Определенный интеграл.

Пример 2. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:


Определенный интеграл.


5. Замена переменной в определенном интеграле


Теорема 3. Пусть функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл. Тогда, если: 1) функция Определенный интеграл и ее производная Определенный интеграл непрерывны при Определенный интеграл; 2) множеством значений функции Определенный интеграл при Определенный интеграл является отрезок Определенный интеграл; 3) Определенный интеграл, Определенный интеграл, то справедлива формула


Определенный интеграл, (3)


которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования Определенный интеграл и Определенный интеграл (для этого надо решить относительно переменной t уравнения Определенный интеграл и Определенный интеграл)).

На практике часто вместо подстановки Определенный интеграл используют подстановку Определенный интеграл. В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: Определенный интеграл, Определенный интеграл.

Пример 3. Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле Определенный интеграл. Определим Определенный интеграл и Определенный интеграл. Возведя в квадрат обе части равенства Определенный интеграл, получим Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл Определенный интеграл. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулуОпределенный интеграл подставим старые пределы Определенный интеграл и Определенный интеграл. Получим: Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл; Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл и, следовательно, Определенный интеграл. Таким образом:


Определенный интеграл
Определенный интеграл.

Пример 4. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл Определенный интеграл, Определенный интеграл. Найдем новые пределы интегрирования: если Определенный интеграл, то Определенный интеграл; если Определенный интеграл, то Определенный интеграл. Значит, Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Пример 5. Вычислить интеграл Определенный интеграл.

Решение. Положим Определенный интеграл, тогда Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл. Находим новые пределы интегрирования: Определенный интеграл; Определенный интеграл. Имеем: Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Интегрирование по частям


Теорема 4. Пусть функции Определенный интеграл и Определенный интеграл имеют непрерывные производные на отрезке Определенный интеграл. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:


Определенный интеграл. (4)


Доказательство

Так как Определенный интеграл, то функция Определенный интеграл является первообразной для функции Определенный интеграл. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем


Определенный интеграл,


откуда


Определенный интеграл.


Пример 6. Вычислить Определенный интеграл.

Решение. Положим Определенный интеграл, отсюда Определенный интеграл. По формуле (4) находим

Определенный интеграл
Определенный интеграл.

Пример 7. Вычислить Определенный интеграл.

Решение. Пусть Определенный интеграл, тогда Определенный интеграл. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем


Определенный интеграл
Определенный интеграл.

Пример 8. Вычислить Определенный интеграл.

Решение. Полагая Определенный интеграл, определяем Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл

Определенный интеграл[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: Определенный интеграл; следовательно: Определенный интеграл] = Определенный интеграл = Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы


Площадь криволинейной трапеции


Пусть функция Определенный интеграл неотрицательна и непрерывна на отрезке Определенный интеграл. Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью Определенный интеграл, слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл (см. рис. 2) вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (5)


Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией Определенный интеграл и осью Определенный интеграл.

Решение. Графиком функции Определенный интеграл является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью Определенный интеграл (прямой Определенный интеграл). Для этого решаем систему уравнений


Определенный интеграл


Получаем: Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл, Определенный интеграл; следовательно, Определенный интеграл, Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 3


Площадь фигуры находим по формуле (5):


Определенный интеграл

Определенный интегралОпределенный интеграл (кв. ед.).


Если функция Определенный интеграл неположительна и непрерывна на отрезке Определенный интеграл, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью Определенный интеграл, слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (6)


В случае если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Определенный интеграл