Xreferat.com » Рефераты по математике » Определенный интеграл

Определенный интеграл

loading="lazy" src="https://xreferat.com/image/54/1306487808_139.gif" alt="Определенный интеграл" width="136" height="60" align="BOTTOM" border="0" />


Получаем: Определенный интеграл, откуда Определенный интеграл, Определенный интеграл; следовательно, Определенный интеграл, Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 3


Площадь фигуры находим по формуле (5):


Определенный интеграл

Определенный интегралОпределенный интеграл (кв. ед.).


Если функция Определенный интеграл неположительна и непрерывна на отрезке Определенный интеграл, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью Определенный интеграл, слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (6)


В случае если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Определенный интеграл. (7)


Определенный интеграл

Рис. 4


Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Определенный интеграл и графиком функции Определенный интеграл при Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 5


Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей Определенный интеграл и Определенный интеграл. Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему Определенный интеграл Получим Определенный интеграл, Определенный интеграл. Следовательно:


Определенный интеграл Определенный интеграл;

Определенный интеграл

Определенный интеграл.


Таким образом, площадь Определенный интеграл заштрихованной фигуры равна


Определенный интеграл (кв. ед.).


Определенный интеграл

Рис. 6


Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке Определенный интеграл функций Определенный интеграл и Определенный интеграл,
а слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (8)


Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определенный интеграл и Определенный интеграл.

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений Определенный интеграл находим Определенный интеграл, Определенный интеграл; следовательно, Определенный интеграл, Определенный интеграл. На отрезке Определенный интеграл имеем: Определенный интеграл. Значит, в формуле (8) в качестве Определенный интеграл возьмем x, а в качестве Определенный интегралОпределенный интеграл. Получим:


Определенный интеграл Определенный интеграл Определенный интеграл (кв. ед.).


Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.


Определенный интеграл

Рис. 7


Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определенный интеграл, Определенный интеграл Определенный интеграл, Определенный интеграл.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью Определенный интеграл, слева и справа – прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, сверху – графиками функций Определенный интеграл и Определенный интеграл. Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой Определенный интеграл на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий Определенный интеграл и Определенный интеграл). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):


Определенный интеграл (кв. ед.); Определенный интеграл (кв. ед.). Следовательно:

Определенный интеграл (кв. ед.).

Определенный интеграл

Рис. 8


Определенный интегралОпределенный интеграл

Рис. 9


В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, осью Определенный интеграл и непрерывной на Определенный интеграл кривой Определенный интеграл (рис. 9), то ее площадь находится по формуле


Определенный интеграл.


Объем тела вращения


Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл, осью Определенный интеграл, прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл, вращается вокруг оси Определенный интеграл (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (9)


Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой Определенный интеграл, прямыми Определенный интеграл, Определенный интеграл и осью Определенный интеграл.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условия задачи следует, что Определенный интеграл, Определенный интеграл. По формуле (9) получаем


Определенный интеграл
Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 10

Определенный интеграл

Рис. 11


Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл (рис. 12), определяется по формуле


Определенный интеграл. (10)


Определенный интегралОпределенный интеграл

Рис. 12


Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: Определенный интеграл, Определенный интеграл. По формуле (10) получаем:


Определенный интеграл.


Определенный интеграл

Рис. 13


Длина дуги плоской кривой


Пусть кривая Определенный интеграл, заданная уравнением Определенный интеграл, где Определенный интеграл, лежит в плоскости Определенный интеграл (рис. 14).


Определенный интеграл

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги Определенный интеграл понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция Определенный интеграл и ее производная Определенный интеграл непрерывны на отрезке Определенный интеграл, то длина дуги кривой Определенный интеграл вычисляется по формуле


Определенный интеграл. (11)


Пример 15. Вычислить длину дуги кривой Определенный интеграл, заключенной между точками, для которых Определенный интеграл.

Решение. Из условия задачи имеем Определенный интеграл. По формуле (11) получаем:


Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интегралОпределенный интеграл.


Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования


При введении понятия определённого интеграла Определенный интеграл предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и Определенный интеграл являются конечными;

б) подынтегральная функция Определенный интеграл ограничена на отрезке Определенный интеграл.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция Определенный интеграл определена и непрерывна на промежутке Определенный интеграл, тогда


Определенный интеграл (12)


называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).

Если Определенный интеграл существует и конечен, то несобственный интеграл Определенный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен Определенный интеграл, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл Определенный интеграл от неотрицательной функции Определенный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции Определенный интеграл, снизу – осью Определенный интеграл, слева – отрезком прямой Определенный интеграл и неограниченной справа (рис. 15).

Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.


Определенный интеграл

Рис. 15


Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:


Определенный интеграл. (13)


Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:


Определенный интеграл, (14)


где с – любая точка интервала Определенный интеграл. Интеграл Определенный интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) Определенный интеграл; б)Определенный интеграл; в) Определенный интеграл; г) Определенный интеграл.

Решение. а) Определенный интеграл Определенный интеграл, следовательно, данный интеграл расходится;

б) Определенный интеграл

Определенный интеграл. Так как при Определенный интеграл предел Определенный интеграл не существует, то интеграл Определенный интеграл расходится;

в) Определенный интеграл

Определенный интеграл Значит, несобственный интеграл Определенный интеграл сходится и его значение равно Определенный интеграл;

г) Определенный интеграл = [выделим в знаменателе полный квадрат: Определенный интеграл] = Определенный интеграл [замена: Определенный интеграл

Определенный интеграл] = Определенный интеграл

Определенный интегралОпределенный интеграл

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно Определенный интеграл.


Несобственные интегралы от неограниченных функций


Пусть функция Определенный интеграл непрерывна на конечном промежутке Определенный интеграл, но не ограничена на этом промежутке.

Определение. Несобственным интегралом Определенный интеграл от функции у=f(x) на промежутке Определенный интеграл называется предел Определенный интеграл, т.е.


Определенный интеграл. (15)


Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции Определенный интеграл непрерывной, но не ограниченной на промежутке Определенный интеграл

Похожие рефераты: