Сингулярные интегралы
Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
Сингулярные интегралы.
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Сколова Ирина Юрьевна
____________________
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
____________________
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент
Подгорная Ирина Иссаковна
____________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.
« » _______________
Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.
« » _______________
Киров 2005
Оглавление
Введение………………………………………………………………………...с. 3
§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11
§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18
§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23
Литература……………………………………………………………………...с. 27
Введение
Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.
Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.
Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.
В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.
Определение. Если в точке x будет и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t).
Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция , что .
Если, в частности, , то и .
Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.
Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E(, h)=E∙[-h, +h]. Это тоже измеримое множество.
Предел отношения при h→0 называется плотностью множества E в точке и обозначается через .
Определение. Пусть функция f (x) задана на сегменте [a, b] и . Если существует такое измеримое множество E, лежащее на [a, b] и имеющее точку точкой плотности, что f (x) вдоль E непрерывна в точке , то говорят, что f (x) аппроксимативно непрерывна в точке .
Определение. Измеримая функция f (x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадратом, если
.
Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .
Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f (x). Если всякому ε>0 отвечает такое δ>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой оказывается
, (3)
то говорят, что функция f (x) абсолютно непрерывна.
Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .
Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если .
Определение. Функция f (x), заданная на [a, b], называется нормальной, если .
Определение. Система функций , , , …, заданных на сегменте [a, b], называется ортонормальной системой, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.
Определение. Пусть есть ортонормальная система и f (x) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье функции f (x) в системе .
Ряд называется рядом Фурье функции f (x) в системе .
§1. Понятие сингулярного интеграла
Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.
Рассмотрим функцию
. (1)
Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f (t) () можно образовать величину
. (2)
Докажем, что во всякой точке x (0<x<1), в которой функция f(t) непрерывна, будет
. (3)
Для этого прежде всего отметим, что при
. (4)
Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность
.
Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме
.
Интеграл оценивается следующим образом:
.
В интеграле будет , поэтому
,
где не зависит от n. Аналогично и, следовательно, ,
так что при достаточно больших n будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием n, что и требовалось доказать.
Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях n те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x. Но около точки x функция f (t) почти равна f (x) (т. к. она непрерывна при t=x). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f (t) на f (x), т. е. он почти равен интегралу
и, в силу (4), почти равен f (x).
Функция , обладающая подобными свойствами, носит название ядра.
Определение. Пусть функция (n=1, 2, …), заданная в квадрате (, ), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром, если при условии, что .
Определение. Интеграл вида , где есть ядро, называется сингулярным интегралом.
В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции
f (t) в точке x. Так как изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение f (x) функции f (t) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f (t) в точке t=x. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t), и т. п.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых функций , , , … Если существует такая постоянная K, что при всех n и t будет
, (5)
и если при всяком c () будет
, (6)
то, какова бы ни была суммируемая на [a, b] функция f (t), справедливо равенство
. (7)
Доказательство. Если есть сегмент, содержащийся в [a, b], то из (6) следует, что
. (8)
Рассмотрим непрерывную функцию f (t), и для наперед заданного разложим [a, b] точками на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f (t) было меньше, чем ε.
Тогда . (9)
Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем Kε(b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для окажется меньшей, чем ε. Для этих n будет
,
так что (7) доказано для непрерывной функции f(t).
Пусть f (t) измеримая ограниченная функция .
Возьмем ε>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что , .
Тогда .
Но .
Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше ε. Значит, для этих n будет
,
что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.
Пусть f (t) произвольная суммируемая функция.
Возьмем ε>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ>0, чтобы для любого измеримого множества с мерой me<δ было .
Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было . Это возможно по
Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что .
Можно считать, что на множестве функция g(t) равна нулю.
Тогда .
Но .
Интеграл же при достаточно больших n будет меньше ε, и при этих n окажется , что и доказывает теорему.
Пример. Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана
Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [a, b] функции
f (t) будет .
В частности, коэффициенты Фурье , произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при .
Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю.
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке
Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f (t).
Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(a<x<b) и любом δ>0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ],
[x+δ, b] и , где H(x) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f (t), непрерывная в точке x, справедливо равенство
.
Доказательство. Так как есть ядро, то ,
и достаточно обнаружить, что
.
С этой целью, взяв ε>0, найдем такое δ>0, что при будет
.
Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x.
Тогда при любом n .
Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ], [x+δ, b]. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.
И для этих n окажется , что и требовалось доказать.
Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.
Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.
Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что
. (1)
Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [a, b], интеграл
(2)
существует (может быть как несобственный при t=a) и справедливо неравенство
. (3)
В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда