Xreferat.com » Рефераты по математике » Топологические пространства

Топологические пространства

§1.

(предварительные сведения)

Непрерывные отображения топологических

пространств

Пусть Х и Y топологические пространства.

Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f –1(О) открыт в пространстве Х.

Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:

Топологические пространства (1).

Теорема 1.1. Отображение f : X→Y  является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f –1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество Топологические пространстваоткрыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f –1(F) замкнуто в Х.

Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому Топологические пространства замкнутое в Х множество. Следовательно, множество Топологические пространстваоткрыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз Топологические пространстваоткрыт в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению. €


1.2. Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О1 Топологические пространства О2.

Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1 ∩ О2 = Ж и О1 Топологические пространства О2 = Х;

существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Ж и F1 Топологические пространства F2 = Х;

в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О1 и О2 непустые открытые множества, для которых О1 ∩ О2 = Ж и О1 Топологические пространства О2 = Х. Рассмотрим множества F1 = СО1 и F2 = СО2. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F1 ∩ F2 = Ж и F1 Топологические пространства F2 = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F1 и F2 непустые замкнутые множества, для которых F1 ∩ F2 = Ж и F1 Топологические пространства F2 = Х. Рассмотрим множество G = F1 М Х. Множество F1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F2 (F1 = CF2). Поэтому множество G = F1 является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.

Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой

φ(х) = Топологические пространстваТопологические пространства Топологические пространства

Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A  = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и Топологические пространства. Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = φ –1(М) = φ –1(А Топологические пространства В) = φ –1(А) Топологические пространства φ –1(В),

причём φ –1(А) и φ –1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О1 = φ –1(А) и О2 = φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О1 Топологические пространства О2 . €

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1 и F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1 Топологические пространства F2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.

Доказательство. Пусть F1 и F2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Н F1 Топологические пространства F2. Тогда

М = (М ∩ F1) Топологические пространства (M ∩ F2).

Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и M ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F2, пустое. Тогда

М = М ∩ F1 Н F1. €

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 и О2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O1 Топологические пространства O2.

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и G2 = f –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €


1.3. Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия Топологические пространства множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х  А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х  А. Пусть, например,

Топологические пространства.

Очевидно, что множества Топологические пространства образуют искомое конечное подпокрытие множества А. €

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].


§2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yОY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).

Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yОY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y.

Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Н Oy, т.к., если U = U1 Топологические пространства U2, где U1, U2 – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то

f  –1(U) = f  –1(U1) Топологические пространства f  –1(U2), f –1(U1) ∩ f  –1(U2) = Ж,

т.е. f –1(U) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yОY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Н Oy точки y, что трубка f  –1(U) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y О Y.

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y О Y. Тогда следующие условия эквивалентны:

отображение f несвязно над точкой y О Y;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что каждая трубка f  –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

существует такая окрестность Oy точки y О Y, что для каждой трубки f  –1(U) над окрестностью U Н Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f  –1(U) ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y несвязное над точкой y О Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. Таким образом, трубка f –1(U) над окрестностью U Н Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.

f  –1(U) = О1 Топологические пространства О2, О1 ∩ О2 = Ж.

Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.

Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.

Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f  –1(U) ® {1, 2}.

Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y О Y, что для трубки f –1(U) над некоторой окрестностью U Н Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f  –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y О Y. €

Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f  –1(y), где y О Y, этого отображения является связным множеством.

Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, при котором f = g Топологические пространства φ. Тогда, если отображение f связно над точкой y О Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над точкой y О Y (слой g –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).

Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y О Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Н Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е. множество φ(f –1(U)) (множество φ( f –1(y))) – связное.

Предположим, что отображение g несвязно над точкой y О Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой y О Y).

По условию, f = g Топологические пространства φ, следовательно,

f –1(U) = (g Топологические пространства φ) –1(U) = φ –1(g–1(U)).

Отсюда,

φ(f –1(U)) = φ(φ–1(g–1(U))) =g–1(U)

(для слоя φ( f –1(y)) = g–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f –1(U)) связное (слой φ( f –1(y)) связен), а множество g–1(U) (слой g–1(y)) – нет.

Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y О Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y О Y. Если отображение f связно над этой точкой y О Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y О Y (послойно связно). €


2.2. Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности

Определение 15. Отображение f : X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Н Х образ f (F) является замкнутым множеством в Y.

Определение 16. Отображение f : X→Y называется замкнутым над точкой yОY, если для всякой окрестности О слоя f –1(y) М Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f –1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f –1(y):

f –1(y) Н f –1(Oy) Н О.

Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывное отображение f : X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой yОY.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y О Y и рассмотрим окрестность О множества f –1(y). Множество F = X  О замкнуто в Х и F ∩ f –1(y) = Ж. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y П f(F). Значит окрестность Oy = Y  f (F) точки y обладает таким свойством f –1(Oy) ∩ F = Ж, следовательно, f –1(Oy) М О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой yОY в силу того, что точка y взята произвольно.

Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой yОY. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y О [f(F)]  f(F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X  F является окрестностью множества f –1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f –1(Oy) М X  F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Ж и поэтому точка y П [f (F)].

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым. 

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f : X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f  –1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.я

Предложение 2.2. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y О Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |Z : Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y О Y), то и отображение g замкнуто.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y О Y и рассмотрим окрестность U М Z слоя g–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество Uў такое, что U = Uў Топологические пространства Z. Множество O = Uў Топологические пространства (X  Z) будет окрестностью слоя f –1(y) . Отображение f замкнутое над точкой y О Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y, что f –1(Oy) М O. Тогда g–1(Oy) М Z Топологические пространства O = Z Топологические пространства Uў = U.

В силу произвольности выбора точки y О Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y О Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y О Y. 

Предложение 2.3. Пусть отображение f : X ® Y замкнуто над точкой y О T Н Y, где T – произвольное множество в Y. Тогда под-отображение g = f |Топологические пространства : f –1(T) ® T замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y О T), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y О T).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y О T Н Y и некоторую окрестность О слоя g–1(y) = f –1(y), такую что

O = O' Топологические пространства f –1(T),

где Оў – открытое в Х множество. Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что f –1(O'y) М О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy' Топологические пространства T, и f –1(Oy) = g–1(Oy) М O' Топологические пространства f –1(T) = О. Следовательно, отображение g будет замкнуто над y О Y.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y. 

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y О Y и слой f –1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y О Y.

Доказательство. Поскольку слой f –1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f –1(y) множества О1 и О2, что О1 ∩ О2 = Ж и О1 Топологические пространства О2 = f  –1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q1 и Q2 такие, что

O1 = Q1 Топологические пространства f  –1(y), O2 = Q2 Топологические пространства f –1(y).

Рассмотрим замыкание этих множеств Топологические пространства и Топологические пространства в Х. Их пересечение Топологические пространства есть замкнутое множество, и F Топологические пространства f  –1(y) = Ж (т.к. О1 и О2 замкнутые в f –1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q1 Топологические пространства Q2) F открыто в Х, причём f –1(y) М О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f  ) найдётся такая окрестность Oy точки y, что f  –1(Oy) М О. Пусть G1 = f  –1(Oy) Топологические пространства Q1 и G2 = f  –1(Oy) Топологические пространства Q2 – открытые в f  –1(Oy) множества. Так как

Топологические пространства М Х  f  –1(Oy),

то G1 ∩ G2 = Ж. Тогда f –1(Oy) = G1 Топологические пространстваG2. Следовательно, трубка f –1(Oy) несвязна.

Пусть U Н Oy – произвольная окрестность точки y. Тогда Топологические пространства и Топологические пространства – дизъюнктные множества, открытые в f –1(U), и непустые, т.к. О1 М Топологические пространства и О2 М Топологические пространства. Следовательно, для любой окрестности U Н Oy трубка f –1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y О Y и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y О Y.

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f : X→Y замкнуто над точкой y О Y и связно над точкой y. Тогда слой f  –1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f : X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y О Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Н Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:

f –1(U) = О1 Топологические пространства О2, О1 ∩ О2 = Ж,

где О1 и О2 – непустые открытые в  f –1(U) множества.

Слой f –1(y) связен и f –1(y) М f –1(U), отсюда, f –1(y) содержится либо в О1, либо в О2 (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х1ОО1. Образ этой точки f (x1) = y1 М U. По условию, слой f –1(y1) связен и f –1(y1) М О1 Топологические пространстваО2 = f –1(U). Поскольку О1 ∩ О2 = Ж и х1ОО1, следовательно (по теореме 1.4), f –1(y1) М О1. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О1, то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х1 произвольная, то О1 = f –1( f (O1)). Аналогично доказывается, что О2 = f –1(f (O2)).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f : f –1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O1) = g (O1) и f (O2) = g (O2) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O1) Топологические пространства f (O2), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U. 

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f : X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, Z Н X замкнуто в Х. Подотображение g = f |Z : Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f : X→Y замкнутое, T Н Y произвольное множество. Подотображение g = f |Топологические пространства : f –1(T) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.


2.3. Связь между связностью пространств

и отображений

Пусть пространство Y = {*} – одноточечное. В этом случае отображение f : X→Y непрерывно и является связным (несвязным) тогда и только тогда, когда пространство Х связно (несвязно), т.к. трубки и слои над пространством Y совпадают со всем пространством Х.

Этот факт позволяет строить многочисленные примеры связных и несвязных отображений. Для этого достаточно взять связные и несвязные пространства и отображение их в одноточечные множества.

Пример. Рассмотрим отображение f : [-1;1] ® R, для которого f (х) = 0 при любом х О [-1;1]. Отображение f связно тогда и только тогда, когда слой f –1(y) над точкой y = 0 связен. Но f –1(0) = [-1;1] –

Похожие рефераты: