Топологические пространства

существует такое топологическое вложение i : X ® Y ґ F пространства Х в топологическое произведение Y ґ F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y ґ F и)

f = prY  i,

где prY : Y ґ F® Y – проекция на сомножитель Y.

Теорема 2.8. Пусть отображение f : X ® Y послойно связное и параллельно пространству F. Тогда отображение f связное.

Доказательство. Отождествим Х с i(X). Тогда f можно отождествить с подотображением проекции prY : Y ґ F® Y. Пусть y О Y – фиксированная точка и Oy – её произвольная окрестность. Предположим, что для любой связной окрестности U Н Oy точки у трубка f –1(U) несвязна. Положим f –1(U) = О1  О2, где О1, О2 – непустые дизъюнктные открытые в f –1(U) множества и U Н Oy – некоторая фиксированная связная окрестность точки y.

Пусть х О f –1(y). Тогда х О О1 или х О О2. Допустим х О О1. Найдётся такое открытое в Y ґ F множество G1, что О1 =  G1  X. По определению топологии, в Y ґ F найдутся окрестность Vx Н U точки y и открытое в F множество W такие, что

х О = Vx ґ W Н G1.

Так как множество f –1(y) – связное по условию, то х О f –1(y) Н О1.

Пусть хў – произвольная точка из (Vx ґ W)  Х. Тогда хў О О1 и

f –1(f (xў )) Н О1.

Следовательно, О1 содержит всякий слой f –1(yў ), где yў О Vx (в силу послойной связности f ).

Таким образом, для каждой точки х О О1 найдётся окрестность Vx Н U точки f (x), что х О f –1(Vx ) Н О1. Поэтому

.

Следовательно, множество является окрестностью точки y и O1 = f –1(V1). Аналогично устанавливается, что O2 = f –1(V2), где V2 непустое открытое в Y множество. Откуда, U = V1  V2, что противоречит связности U. Значит, отображение f связное над точкой y. €

Пример. Если отображение f : X ® Y связное над точкой y, то слой f –1(y) необязательно является связным множеством. Например, пусть f = prY : X ґ Y ® Y – проекция на Y, где Х = Y = [0; 1] (рис. 8). Рассмотрим точку y =  О Y и слой f –1(y) над точкой y. Пусть точка z = (x; y) О X ґ Y, где х = , y = . Тогда слой f –1(y)  {z} – несвязное множество. Отображение f = prY при этом останется связным, поскольку для любой связной окрестности U точки y трубка f –1(U) – линейно связна, следовательно, трубка f –1(U) – связна.

2.5. Послойное произведение отображений

Определение 20. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – непрерывные отображения. Послойным произведением f ґ g этих отображений называется отображение h : Т ® Y, где

и

.

Из данного определения вытекает смысл названия такого определения:

для любой точки y О Y.

Таким образом, в силу следствия 2.5, становится очевидной следующая теорема:

Теорема 2.9. Пусть отображения f : X ® Y и g : Z ® Y послойно связные. Тогда произведение h = f ґ g также является послойно связным отображением.

Лемма 2.4. Пусть f, g : X ® Y непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y. Тогда множество Т = {x О X : f (x) = g(x)} является замкнутым в Х.

Доказательство. Докажем, что множество Х  Т открытое, т.е. для любой точки x О X найдётся такая окрестность Ох точки х, что Ох М Х  Т.

Возьмём произвольную точку x О X  Т. Тогда f (x) = y1 О Y, g(x) = y2 О Y. Так как пространство Y хаусдорфово, то существуют окрестности Оy1 точки y1 и Оy2 точки y2 такие, что

Оy1  Оy2 = Ж. {*}

Отображения f и g – непрерывные, поэтому множества f –1(Oy1), g–1(Oy2) – открытые в Y и x О f –1(Oy1), x О g–1(Oy2). Рассмотрим окрестность Ох = f –1(Oy1)  g–1(Oy2) точки х. Предположим, что Ох  Т ≠ Ж, т.е. существует такая точка х1 О Ох, что f (x1) = g (x1) = y. Но точка y должна принадлежать как окрестности Oy1, так и окрестности Oy2, что противоречит условию {*}. я

Лемма 2.5. Если пространства Х и Y компактные, то и их произведение X ґ Y является компактным множеством.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х, и пусть Ω = – открытое покрытие пространства X ґ Y. Рассмотрим слой

 = Y ґ {x}.

Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому – компактное множество. Тогда из открытого покрытия

Ω(х) =  Н Ω,

(где Ua(x) множество, содержащее некоторые точки слоя над точкой x) слоя можно выбрать конечное открытое подпокрытие ω(х) = . Объединение

U(x) = (x) (**)

есть открытое множество, содержащее слой , и prX – замкнутое отображение (в силу компактности пространства Y и леммы 2.3). Следовательно, существует такая окрестность Ох точки х, что  Н U(x). Семейство {Оx: x О X} образует открытое покрытие пространства X. В силу компактности X, найдется конечное подпокрытие {Oxi : i = 1,.., k}. Тогда семейство ω =  образует конечное подпокрытие пространства X ґ Y. я

Теорема 2.10. Пусть f : X ® Y и g : Z ® Y – связные отображения компактных пространств X и Z в хаусдорфово пространство Y. Тогда произведение h = f ґ g также является связным отображением компактного пространства Т.

Доказательство. По определению послойного произведения, (, – непрерывные отображения в хаусдорфово пространство Y ) и . Тогда, по лемме 2.4, множество Т является замкнутым в пространстве Х ґ Z, которое, по лемме 2.5, является компактным. Следовательно, множество Т компактно (по теореме 1.7), и его образ h(T) при непрерывном отображении h замкнут в Y (в силу теорем 1.9 и 1.8). Отсюда, отображение h является замкнутым.

Таким образом, в силу теорем 2.9 и 2.3, отображение h = f ґ g является связным. €

Следующая теорема указывает, в каком случае отображения могут быть параллельными пространству Х. Для её доказательства понадобится

Лемма 2.6. Если пространства Х и Y хаусдорфовы, то и их произведение X ґ Y является хаусдорфовым множеством.

Доказательство. Пусть z1 и z2 – произвольные фиксированные точки пространства X ґ Y. Рассмотрим точки x1 = prX (z1), x2 = prX (z2) и y1 = prY (z1), y2 = prY (z2) пространств X и Y соответственно. Точки z1 и z2 различны, следовательно, x1 № x2 или y1 № y2. Пусть y1 № y2. Тогда, по определению хаусдорфова пространства, в Y существуют такие окрестности Oy1 и Oy2 точек y1 и y2 соответственно, что Oy1  Oy2 = Ж. Проекция prY является непрерывным отображением, поэтому множества и – открытые в X ґ Y и непересекающиеся. Причём, z1 О и z2 О . Следовательно, пространство X ґ Y – хаусдорфово по определению. 

Теорема 2.11. Непрерывное отображение f : X ® Y компактного хаусдорфова пространства Х в хаусдорфово пространство Y является замкнуто параллельным пространству Х.

Доказательство. Рассмотрим послойное произведение h = = f ґ i : T ® Y отображений f : X ® Y и i : Y ® Y, где i – тождественное отображение и множество Т = {(x; y): fprX = iprY = prY}. По лемме 2.4, множество Т замкнуто в X ґ Y. Пусть (x1; y1) О T – произвольная фиксированная точка. Тогда prY (x1; y1) = y1 = fprX (x1; y1). Отсюда, для точек (x1; y1), (x2; y2) О Т выполняется неравенство prX (x1; y1) № prX (x2; y2) при х1 № х2. Следовательно, непрерывное отображение prX : Т ® Х биективно. Но пространство T компактно как замкнутое подможество компактного пространства X ґ f (X) Н X ґ Y (в силу теорем 1.7, 1.9 и леммы 2.5). Поэтому отображение g = prX : T ® X по следствию 2.1 является гомеоморфизмом, т.е. Т  Х, и f = prY. Тогда в качестве топологического вложения можно рассматривать гомеоморфизм d = g–1: X ® T. Таким образом, множество d(Х) = Т замкнуто в X ґ Y, и f = prYd. Отождествим множества Т и Х с помощью d.. Тогда отображение f замкнуто параллельно пространству Х по определению. 

Литература.

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: «Наука»,1977.

Александров П.С. Геометрия.

Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометрии. – М.: «Просвещение», 1985.

Мусаев Д.К., Пасынков Б.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. – Ташкент: издательство «Фан» Академии наук республики Узбекистан, 1994.

Рубанов И.С. Элементы теоретико-множественной топологии для студентов пединститута. – Киров, 1990.

22