Xreferat.com » Рефераты по математике » Тройные и кратные интегралы

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Тройные и кратные интегралы

Министерство общего и профессионального образования Р.Ф.

Иркутский государственный технический университет.

Кафедра высшей математики.

 

 

 

 

Реферат.

 

Применение тройных или кратных

интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка

группы ТЭ-97-1

Мелкоступова С.С.

Проверил преподаватель

кафедры высшей математики

Седых Е.И.

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 1998.

 

Содержание.

 

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

II. Вычисление тройных интегралов.

1. Декартовы координаты.

А) Пример.

2. Цилиндрические координаты.

3. Сферические координаты.

А) Пример.

4. Применение тройных интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

 

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Тройные и кратные интегралы (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

Тройные и кратные интегралы

Единица измерения плотности - кг/м3.

Тройные и кратные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим Тройные и кратные интегралы Выберем затем в каждой части по произвольной точке Тройные и кратные интегралы Полагая, что в, каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке Тройные и кратные интегралы, мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы

Тройные и кратные интегралы (*)

Предел этой суммы при условии, что Тройные и кратные интегралы и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела

Тройные и кратные интегралы

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции Тройные и кратные интегралы по пространственной области Тройные и кратные интегралы.

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

Тройные и кратные интегралы

где Тройные и кратные интегралы - произвольная непрерывная в области Тройные и кратные интегралыфункция.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .

Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция Тройные и кратные интегралы тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области Тройные и кратные интегралы:

Тройные и кратные интегралы

Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.

V 1. Если функция Тройные и кратные интегралы во всех точках области интегрирования Тройные и кратные интегралы удовлетворяет неравенствам

Тройные и кратные интегралы

то

Тройные и кратные интегралы

где V - объем области Тройные и кратные интегралы.

VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

Тройные и кратные интегралы

 

 

II. Вычисление тройных интегралов.

Вычисление тройного интеграла Тройные и кратные интегралы может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.

1. Декартовы координаты.

Пусть дан тройной интеграл от функции Тройные и кратные интегралы

Тройные и кратные интегралы

причем область Тройные и кратные интегралы отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования

Тройные и кратные интегралы

В соответствии с этим будем писать

Тройные и кратные интегралы

Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.

Будем считать, что область интегрирования Тройные и кратные интегралы имеет вид, изображенный на рис. 1).

Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области Тройные и кратные интегралы вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет Тройные и кратные интегралы, уравнением верхней Тройные и кратные интегралы.

Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проекцией пространственной области Тройные и кратные интегралы на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области Тройные и кратные интегралы.

Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция Тройные и кратные интегралы интегрируется по заключенному в Тройные и кратные интегралы отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок Тройные и кратные интегралы ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от Тройные и кратные интегралы - аппликаты точки “входа” (Тройные и кратные интегралы) прямой в область Тройные и кратные интегралы, до Тройные и кратные интегралы - аппликаты точки “выхода” (Тройные и кратные интегралы ) прямой из области Тройные и кратные интегралы.

Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Р (х, у); обозначим ее через F(х, у):

Тройные и кратные интегралы

При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные.

Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл

Тройные и кратные интегралы

Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде

Тройные и кратные интегралы

Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим

Тройные и кратные интегралы (*)

где Тройные и кратные интегралыи Тройные и кратные интегралы - ординаты точек “входа” в область D и “выхода” из нее прямой Тройные и кратные интегралы (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который проектируется область D.

Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области Тройные и кратные интегралы производится, посредством трех последовательных интегрировании.

Формула (*) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно Тройные и кратные интегралы и Тройные и кратные интегралы (рис. 2).

Тройные и кратные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :

Тройные и кратные интегралы

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.

Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

 

Рис.3 Рис.4

Тройные и кратные интегралы

А) Пример.

Вычислим тройной интеграл

Тройные и кратные интегралы

где Тройные и кратные интегралы- область, ограниченная координатными плоскостями

Тройные и кратные интегралы

и плоскостью Тройные и кратные интегралы (пирамида, изображённая на рис.4).

Интегрирование по z совершается от z=0 до Тройные и кратные интегралы Поэтому, обозначая проекцию области Тройные и кратные интегралы на плоскость Oxy через D, получим

Тройные и кратные интегралы

Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого Тройные и кратные интегралы

Тройные и кратные интегралы

 

2. Цилиндрические координаты.

Отнесём область Тройные и кратные интегралы к системе цилиндрических координат Тройные и кратные интегралы, в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами Тройные и кратные интегралы ее проекции Р на плоскость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное расположение осей координат, как указано на рис. 5, установим связь, между декартовыми и цилиндрическими координатами точки М, именно:

Тройные и кратные интегралы (*)

 

 

 

 

Тройные и кратные интегралы

 

 

 

Рис.5

Разобьем область Тройные и кратные интегралы на частичные области Тройные и кратные интегралы тремя системами координатных поверхностей: Тройные и кратные интегралы которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью которых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями Тройные и кратные интегралы служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Тройные и кратные интегралы

Преобразование тройного интеграла Тройные и кратные интегралы к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к