Xreferat.com » Рефераты по математике » Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Езаова А.Г.

Кафедра теории функций.

Кабардино-Балкарский государственный университет

В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.

Рассмотрим уравнение

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (1)

где m – натуральное число в конечной односвязной области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, ограниченной отрезками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками прямых Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками соответственно – и характеристиками:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

уравнения (1).

Пусть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками;Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками– интервал Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками прямой Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, выходящих из точки Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, с характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками соответственно;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (2)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (3)

– операторы дробного интегрирования порядка -Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, причем

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками– единичный оператор, а Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками– целая часть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Под регулярным в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками решением уравнения (1) будем понимать функцию Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, удовлетворяющую уравнению (1) в Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, и такую, что Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками может обращаться в бесконечность порядка ниже Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками на концах А и В интервала I.

Задача ННелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Найти регулярное в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками решение Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, (4)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, (5)

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (5`)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. (6)

Пусть существует решение задачи Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, удовлетворяющее данным Коши Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, дается формулой [1]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (7)

Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, принесенное на Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристикамииз Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками [2]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, (8)

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (9)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Из постановки задачи ННелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками следует, что функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками непрерывна в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Поэтому, переходя к пределу при Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, (10)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. (11)

Решая задачу (10), (11) относительно Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, окончательно получим функциональное соотношение между функциями Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, принесенное из области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками на Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (12)

Подставляя в (9) вместо функции Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками её выражение (12), получаем :

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками 

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (14)

Следуя [2], преобразуем интегралы:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

В интегралах Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками сделаем подстановки

1) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками; 2) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками; 3) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками;

4) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками; 5) Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

соответственно. В результате получим равенства:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Подставляя значения Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (15)

Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (16)

где обозначено Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (17)

2 Труды молодых ученых  № 3,  2007
Нелокальная
										<div class=

Похожие рефераты: