Xreferat.com » Рефераты по математике » Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками" width="297" height="43" /> (18)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (19)

Введем вспомогательную функцию Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками по формуле :

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (20)

Легко заметить, что функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше e, а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-e) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (21)

Учитывая значение функции Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристикамиНелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Обозначим

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. (22)

Тогда окончательно имеем:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Аналогично находим, что

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

где обозначено Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, (23)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками; (24)

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. (25)

Используя известное тождество [3],

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками (26)

где сингулярный оператор S задаётся формулой:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками,

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками – известные функции, ограниченные соответственно на 0 £ t £ x £ 1, 0 £ x £ t £ 1, 0 £ x £ 1, причем Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, (27)

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками причем ядро Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками ограниченные соответственно при, 0£ x, t£ 1, 0£ x£ 1.

Следуя [2], обозначим через Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками – множество функций Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками– целая часть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками– целая часть Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками [1].

В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).

После определения Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, функция Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками задаётся формулой (12). Таким образом, в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками приходим к задаче [6]: найти регулярное в области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками в замкнутой области Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и удовлетворяющее граничным условиям (4) и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками.

Решение этой задачи задается формулой :

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками – функция Грина этой задачи для уравнения

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. (28)

Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

где Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками;

Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками– функция Бесселя. Функции Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками. Основные свойства функций Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками и Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками, их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].

Список литературы

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.

Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.

Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.

Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.

Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2

Похожие рефераты: