Численные методы
Как видно из таблицы конечных разностей при увеличении порядка конечных разностей ошибка в исходных данных распространяется и растет.
Такое взаимодействие ошибок называют шумом, если это ошибки округлений - то шумом округлений.
Если ошибки округлений достаточно большие, то может происходить следующее явление: при увеличении порядка конечных разностей они могут уменьшаться и→0, но, дойдя до некоторого малого значения, опять могут начать расти из-за шума округлений.
Столбец в таблице конечных разностей, в которой все конечные разности ≈0, называют «практическим постоянным»; при этом конечные разности высших порядков не используют.
Для интерполяции целесообразно использовать многочлен такой степени, которая совпадает с порядком «практической постоянной» конечных разностей.
ЛЕКЦИЯ №8
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯРАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ
Дана функция y=¦(c),заданная на сетке равноотстоящих узлов:
yi=¦(ci),
xi=x0+ihi,
Строим интерполяционный полином с целью упрощения записи полинома (интерполяционного) и представления его в виде, позволяющем оценивать влияние каждого из компонентов на значение аппроксимации, запишем его так:
Nn(x)=-a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)…(x-xn-1) (8.1)
Необходимо посчитать его коэффициенты ai. Будем находить из условия
Nn(xi)=yi
i=0: Nn(x0)=y0=a0+a10+…+an0 a0= y0
i=1: Nn(x1)=y1= y0+a1(x1-x0) + a20+…+an0
x1=x0+1h=x1-x0=h
i=2: Nn(x2)=y2= y0+∆y0/h(x2-x0) (x2-x1) + a30+…+an0
x2-x0=2h
x2-x1=h
y2= y0+∆y02+a22h2
i=k:
(8.2)
Запишем теперь, используя (8.2), полином (8.1) в виде:
Nn(x)= y0+∆y0/h(x-x0)+…+ ∆n y0 /n!hn(x-x0)(x-x1)… (x-xn-1) (8.3)
Полином (8.3) 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона. Он наиболее приспособлен для вычисления значения функции в точках, близких к x0
С целью упрощения
записи полинома
введем переменную
x=x0+gh
Если g-целое, то будет совпадать с номером узла
x0 – базовый узел полинома (8.3)
xi=x0+gh- x0-ih=h(g-i);
Nn(g)= y0+∆y0g+…+ ∆n y0 /n!g(g-1)(g-2)(g-n+1) (8.4)
Полином Ньютона в силу единственности существования интерполяционного полинома Лагранжа является одной из форм записи полинома Лагранжа, поэтому для полинома (8.3) справедливо, что формула остаточного члена полинома Лагранжа
Для вычисления функции в точках находящихся в середине сетки узлов интерполяции либо в ее конце, т. е близкие к xn, применяют два подхода
строят формулы для вычисления функции в точках х, близких к середине сетки интерполяции
формулы для точек х, близких к хn (упорядочивание узлов интерполяции).
Соответственно получаются формулы Стирлинга , Бесселя, Гаусса, и 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона .
Второй путь: в качестве узла х0 для заданной точки х берут тот узел, который наиболее близок к х, узел х1 выбирают как самый близкий из оставшихся узлов к х.
Т.е последовательность
упорядочившаяся
по возрастанию.
Для вычисления значения функции в точке х используется 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.
х0 х1 х2 х3 х4 х5 х6
Преобразуем узлы:
х0′=x3;
x1′=x4 ;
x2′=x2 ;
x3′=x5 ;
Разделенные разности
Пусть функция ¦(c),задана на системе неравно отстоящих узлов.
Разделенной разностью 1-го порядка назовем выражение:
Разделенной разностью 2-го порядка:
Разделенной разностью k-го порядка:
(8.6)
|x-x0|,
Свойства разделенной разности:
на сетке равноотстоящих узлов разделенной разности совпадают конечными разностями
разделенные разности понижают степень многочлена
разделенные разности n-го порядка постоянны и равны
Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов
Пусть функция
¦(c),
задана на сетке
не равноотстоящих
узлов xi,
.Запишем
следующие
разделенные
разности:
Выполним такие действия n-1 раз, получим:
Полином
Ньютона:
Nn(x)= ¦0(c)
Rn(x)= ¦(c,c0,…cn)(x-x0)… (x-xn) (8.8)
То ¦(c)= Nn(x)+ Rn(x)
Nn(x) ≈ ¦(c)
Rn(x) = ¦(c) - Nn(x)
Если ¦(c) имеет (n+1)-ую производную, то остаточный член может быть преобразован к виду остаточного члена (8.9) полинома Лагранжа.
При вычислении полинома в точке х узлы интерполяции лучше переименовать так, чтобы х0 был самым близким к х, а все остальные узлы тем более удаленные по увеличению расстояния к х.