Область определения функции
Федеральное агентство по образованию
Среднего профессионального образования
«Профессиональный лицей №15»
Кафедра: Станочник (металлообработка)
Контрольная работа
по курсу: «Математика»
на тему: «Область определения функции»
Выполнил студент гр. Т 102
Бахирев Я.А.
Проверил: Корнилова Н.Г.
Воткинск
2010
1. Решить неравенство
x2 – 3x+5
x-1
Решение.
Для решения неравенств, правая часть которых – нуль, а левая – алгебраическая дробь, т.е., неравенств вида используем метод интервалов.
Обозначим f(x) x2-3x+5 и найдем область определения
x-1
D(f) функция f (x). Для этого определим нули знаменателя функции:
x-1=0, x=1, D(f)=(-; 1) (1;).
Найдем нули функции f (x). Для этого решим уравнение:
x2- 3x+5 x2-3x+5=0 (1)
x-1x-1=0 (2)
Решая уравнение (1), получим:
x2- 3x+5=0, D= (-3)2-4 1 5=9-20<0 – уравнение не имеет решений.
Функция f(x) непрерывна на множестве D (f) и не имеет нулей. Точка 1 разбивает область определения на промежутки знакопостоянства значений функции. Определим знак значения функции f (x) на каждом промежутке знакопостоянства.
Для этого достаточно определить знак значения функции в любой точке промежутка:
f(0) 02-3 0+5 f (2)= 22-3 2+5
2-1
Отметим, для наглядности, на рисунке промежутки знакопостоянства значений функции f (x) и запишем решения данного неравенства:
f (x) < 0 f (x)>0
f (x) > 0, x c (1;).
Ответ: (1;).
2. Решить неравенство
Log5(3x+1)<2
Решение.
Используя свойства логарифмов положительных чисел
| loga a=1 |
| m loga b =loga bm |
преобразуем неравенство к простейшему логарифмическому неравенству вида
| loga f (x) < loga g(x) |
Log5(3x+1)<2, log5(3x+1)<2log55, log5(3x+1)<log552.
При a>1 функция y=loga t в области определения D(loga), задаваемой неравенством t > 0, монотонно возрастает, то есть, если t1>t2>0, то loga t1 > loga t2. Учитывая это, запишем затем, используем формулу перехода от простейшего логарифмического неравенства к двойному неравенству:
|
Если a > 1, то Loga f(x) < loga g(x) у 0 < f(x) < g(x) |
log5(3x+1) < log552, 0 < 3x + 1 < 52, -1 < 3x < 25 - 1,
11
3 < x < 8, x с 3; 8.
1
Ответ: 3; 8.
3. Найдите все решения уравнения
sinx cosx – v3cosx = 0, принадлежащие отрезку |0; 2 п|.
Решение.
Разложим на множители левую часть уравнения и, учитывая условие задачи, что x с |0; 2п|, в результате получим следующую систему:
sinx cosx – v3cosx=0, cosx(sinx-v3)=0.
|cosx=0
|sinx-v3=0
0<x<2п
Используя формулу решения простейшего тригонометрического уравнения
| cosf(x)=0у f(x)=п +пn, n c Z 2 |
Решим уравнение (1):
cosx=0, x=п+пn, n с Z
Подставляя (4) в двойное неравенство (3), получим:
0< п +пn<2п, п <пn<2п п
222, п < пn < 3п 1 < n < 3
2 п п 2 п, 2 2.
Так как n с Z, то n=0 и n =1. Подставляя n=0 и n=1
в уравнение (4), получим:
sinx=v3 – решений нет, так как - 1<sinx<1 при любых значениях x.
Ответ: п 3п
2, 2.
4. Найдите наименьшее значение функции
f(x)=3x2-18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
| Найдем производную f(x) функции f(x), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:(f(x) +g(x)) =f (x) + g (x) |
| (xm) = mxm-1 |
| C=0 |
f(x)=(3x2-18x+7) =3 (x2)-18 x +7=3 2x2-1-18 x1-1 +0=6x-18.
Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:
| f(x)=0 |
6x-18=0, x=3 c [-5; -1].
Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f(x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:
f(x)=3x2-18x+7,
f(-5)=3 (-5)2-18 (-5)+7=75+90+7=172,
f(-1)=3 (-1)2-18 (-1)+7=3+18+7=28.
Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:
min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
Ответ: min f(x)=f(-1)=28.
[-5; -1]
5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f(x)=x+5sinx
Решение.
Найдем область определения D(f) функции f(x):
D(f)=(- ~;~).
Все функции, имеющие производную, равную f(x), называют множеством всех первообразных F(x) функции f(x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D(f)=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f(x) на указанном промежутке и (общепринято) обозначают:
| | f(x)dx=F(x)+C |
Используя свойства неопределенного интеграла
| |(f(x) + g(x)) dx= |f(x) dx + |g(x)dx |
| |af(x) dx=a|f(x)dx |
и таблицу неопределённых интегралов
|
xm+1 | xmdx=m+1 + C, где m= -1 |
| |sinx dx= -cosx + C |
получим:
F(x)=| f(x) dx = | (x+5sinx) dx= |xdx + 5| sinx dx= 1+1 + 5 (- cosx) + C=2 -5cosx + C.
x1+1 x2
Ответ: F(x) = 2 -5cosx + C.