Xreferat.com » Рефераты по математике » Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

(алгебра и начала анализа) Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

§ 1. Определения.

§ 2. Алгоритм решения.

§ 3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.

§ 1. Определения.

§ 2. Алгоритм решения.

§ 3. Примеры.

IV. Список литературы.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§ 1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦ (a, b, c, …, k , x)=j (a, b, c, …, k , x), (1)

где a, b, c, …, k , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎ А, bÎ B, …, xÎ X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения. Находим область определения уравнения. Выражаем a как функцию от х. В системе координат хОа строим график функции а=¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ (-¥ ;+¥ ) с графиком функции а=¦ (х).Если прямая а=с пересекает график а=¦ (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦ (х) относительно х.

Записываем ответ. § 3. Примеры

I. Решить уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром (1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром или Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, получаем

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а Î (-¥ ;-1]È (1;+¥ )È Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;

Если а Î Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и рассмотрев пару функций Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

В системе координат хОу построим график функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром). Для этого можно представить её в виде Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Поскольку график функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. Поэтому находим производную Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Ответ: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Множеством точек плоскости Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

Случай касания “полупараболы” с прямой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром определим из условия существования единственного решения системы

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

В этом случае уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

имеет один корень, откуда находим :

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Следовательно, исходная система не имеет решений при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, а при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром или Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Î (-¥ ;-3] È (Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром;+¥ ).

IV. Решить уравнение

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Решение.

Использовав равенство Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, заданное уравнение перепишем в виде

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Это уравнение равносильно системе

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Уравнение Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром перепишем в виде

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром и Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром Из графика следует, что при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром, то при Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром графики функций совпадают и, следовательно, все значения Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром являются решениями уравнения (*).

При Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром. Таким образом, при Графическое
										<div class=

Похожие рефераты: