Xreferat.com » Рефераты по математике » Численные методы анализа

Численные методы анализа

1. Численные методы решения систем линейных уравнений.


1.1 Заданная система


Численные методы анализа


1.2 Метод Гаусса


Численные методы анализа (1.1.)


Прямой ход

Нормируем первое уравнение системы, разделив все члены уравнения на его первый коэффициент при Численные методы анализа:


Численные методы анализа (1.2.)


Умножим нормированное уравнение (1.2) на коэффициенты при х1 оставшихся уравнений системы (1.1).


Численные методы анализа (1.3.)

Численные методы анализа (1.4.)

Численные методы анализа (1.5.)


Вычтем полученные уравнения (1.3.), (1.4.), (1.5.) из второго, третьего и четвёртого уравнения системы (1.1.) соответственно, чтобы исключить из системы х1:


Численные методы анализа

Численные методы анализа (1.6.)

Численные методы анализа

Численные методы анализа

Численные методы анализа (1.7.)

Численные методы анализа

Численные методы анализа

Численные методы анализа (1.8.)

Численные методы анализа


Получим новую систему уравнений:


Численные методы анализа (1.9.)


Рассмотрим систему уравнений (1.9).

Решим систему уравнений без первого уравнения системы (1.9.).


Численные методы анализа (1.10.)


Нормируем первое уравнение системы (1.10.), разделив все члены уравнения на коэффициент при Численные методы анализа:

Численные методы анализа (1.11.)


Умножаем нормированное уравнение (1.11.) на коэффициент при х2 оставшихся уравнений:


Численные методы анализа (1.12.)

Численные методы анализа (1.13.)


Вычтем полученные уравнения (1.12.), (1.13.) из второго и третьего уравнения системы (1.10.) соответственно, чтобы исключить из системы х2:


Численные методы анализа

Численные методы анализа (1.14.)

Численные методы анализа

Численные методы анализа

Численные методы анализа (1.15.)

Численные методы анализа


Получим новую систему уравнений:


Численные методы анализа (1.16.)


Рассмотрим систему (1.16) без первого уравнения:


Численные методы анализа (1.17.)

Нормируем первое уравнение системы (1.17.).


Численные методы анализа (1.18.)


Умножаем полученное уравнение (1.18.) на коэффициент при х4 второго уравнения системы (1.17.):


Численные методы анализа (1.19.)


Вычтем полученное уравнение (1.19.) из второго уравнения системы (1.18.):


Численные методы анализа

Численные методы анализа (1.20.)

Численные методы анализа


Получим новую систему линейных уравнений:


Численные методы анализа (1.21.)


Рассмотрим последнее уравнение системы (1.21.).

Нормируем данное уравнение:


Численные методы анализа (1.22.)

В результате выполненных действий система (1.1.) приведена к треугольному виду:

Численные методы анализа (1.23.)


Обратный ход

x4 = 0,327;

Найдём Численные методы анализа из третьего уравнения системы (1.23.):

x3 = 0,210+0,181·0,327=0,269;

Найдём Численные методы анализа из второго уравнения системы (1.23.):

x2 = 0,525–0,346·0,269+0,508·0,327 = 0,598;

Найдём Численные методы анализа из первого уравнения системы (1.23.):

x1 = -0,231–0,231·0,598–0,231·0,269+0·0,327 = -0,431

Решением системы линейных уравнений являются значения неизвестных:

Ответ: x1 = -0,431;

x2 = 0,598;

x3 = 0,269;

x4 = 0,327.


1.3 Метод простой итерации


Численные методы анализа


Выполним проверку на сходимость


|a11|>|a12|+|a13|+|a14| → |13|>|3|+|3|+|0|

|a22|>|a21|+|a23|+|a24| → |14|>|1|+|5|+|-7|

|a33|>|a31|+|a32|+|a34| → |18|>|-2|+|1|+|-4|

|a44|>|a41|+|a42|+|a43| → |14|>|3|+|3|+|-4|


Условия сходимости выполняются, следовательно, решение может быть найдено с определенной точностью за некоторое число итераций.

Вычислим значения неизвестных системы линейных алгебраических уравнений с точностью ε Численные методы анализа 0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значения, равные нулю, т.е.


x1(0) = 0; x2(0) = 0; x3(0) = 0; x4(0) = 0;


Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.


Численные методы анализа= -0,231

Численные методы анализа= 0,500

Численные методы анализа= 0,278

Численные методы анализа= 0,286


Выполним проверку полученных значений:


|x1(1)-x1(0)| = |-0,231–0| = 0,231 Численные методы анализа ε – нет

|x2(1)-x2(0)| = |0,500–0| = 0,500 Численные методы анализа ε – нет

|x3(1)-x3(0)| = |0,278–0| = 0,278 Численные методы анализа ε – нет

|x4(1)-x4(0)| = |0,286–0| = 0,286 Численные методы анализа ε – нет

Выполним вторую итерацию.

Подставим значения неизвестных, полученные в первой итерации, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении.


Численные методы анализа= -0,410

Численные методы анализа= 0,560

Численные методы анализа= 0,288

Численные методы анализа= 0,308


Выполним проверку полученных значений:


|x1(2)-x1(1)| = |-0,410+0,231| = 0,179 Численные методы анализа ε – нет,

|x2(2)-x2(1)| = |0,560–0,500| = 0,060 Численные методы анализа ε – нет,

|x3(2)-x3(1)| = |0,288–0,278| = 0,010 Численные методы анализа ε – нет,

|x4(2)-x4(1)| = |0,308–0,286| = 0,022 Численные методы анализа ε – нет.


Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении.


Численные методы анализа= -0,427

Численные методы анализа= 0,580

Численные методы анализа= 0,270

Численные методы анализа= 0,336


Выполним проверку полученных значений:


|x1(3)-x1(2)| = |-0,427+0,410| = 0,017 Численные методы анализа ε – нет,

|x2(3)-x2(2)| = |0,580+0,560| = 0,020 Численные методы анализа ε – нет,

|x3(3)-x3(2)| = |0,270–0,288| = 0,018 Численные методы анализа ε – нет,

|x4(3)-x4(2)| = |0,336–0,308| = 0,028 Численные методы анализа ε – нет.


Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвертом приближении.


Численные методы анализа= -0,427

Численные методы анализа= 0,602

Численные методы анализа= 0,273

Численные методы анализа= 0,330


Выполним проверку полученных значений:


|x1(4)-x1(3)| = |-0,427+0,427| = 0,000 Численные методы анализа ε – да,

|x2(4)-x2(3)| = |0,602–0,580| = 0,022 Численные методы анализа ε – нет,

|x3(4)-x3(3)| = |0,273–0,270| = 0,003 Численные методы анализа ε – нет,

|x4(4)-x4(3)| = |0,330–0,336| = 0,006 Численные методы анализа ε – нет.


Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвертом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении.


Численные методы анализа= -0,433

Численные методы анализа= 0,598

Численные методы анализа= 0,270

Численные методы анализа= 0,326


Выполним проверку полученных значений:


|x1(5)-x1(4)| = |-0,433+0,427| = 0,006 Численные методы анализа ε – нет,

|x2(5)-x2(4)| = |0,598–0,602| = 0,004 Численные методы анализа ε – нет,

|x3(5)-x3(4)| = |0,270–0,273| = 0,003 Численные методы анализа ε – нет,

|x4(5)-x4(4)| = |0,326–0,330| = 0,004 Численные методы анализа ε – нет.


Выполним шестую итерацию.

Подставим значения, полученные в пятом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при шестом приближении.


Численные методы анализа= -0,431

Численные методы анализа= 0,597

Численные методы анализа= 0,269

Численные методы анализа= 0,327

Выполним проверку полученных значений:


|x1(6)-x1(5)| = |-0,431+0,433| = 0,002 Численные методы анализа ε – нет,

|x2(6)-x2(5)| = |0,597–0,598| = 0,001 Численные методы анализа ε – да,

|x3(6)-x3(5)| = |0,269–0,270| = 0,001 Численные методы анализа ε – да,

|x4(6)-x4(5)| = |0,327–0,326| = 0,001 Численные методы анализа ε – да.


Выполним седьмую итерацию.

Подставим значения, полученные в шестом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при седьмом приближении.


Численные методы анализа= -0,431

Численные методы анализа= 0,598

Численные методы анализа= 0,269

Численные методы анализа= 0,327


Выполним проверку полученных значений:


|x1(7)-x1(6)| = |-0,431+0,431| = 0,000 Численные методы анализа ε – да,

|x2(7)-x2(6)| = |0,598–0,597| = 0,001 Численные методы анализа ε – да,

|x3(7)-x3(6)| = |0,269–0,269| = 0,000 Численные методы анализа ε – да,

|x4(7)-x4(6)| = |0,327–0,327| = 0,000 Численные методы анализа ε – да.


Необходимая точность достигается в седьмой итерации.

Ответ: х1 = -0,431,

х2 = 0,598,

х3 = 0,269,

х4 = 0,327.


1.4 Метод Зейделя


Численные методы анализа


Условия сходимости было проверено выше, оно выполняется.

Точность вычисления ε Численные методы анализа 0,001.

Примем за нулевое приближение неизвестных значений, равные нулю.


x1(0) = x2(0) = x3(0) = x4(0) = 0;


Подставим полученные значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при первом приближении.


Численные методы анализа= -0,231

Численные методы анализа= 0,517

Численные методы анализа= 0,223

Численные методы анализа= 0,288


Выполним проверку полученных значений:


|x1(1)-x1(0)| = |-0,231–0| = 0,231 Численные методы анализа ε – нет

|x2(1)-x2(0)| = |0,517–0| = 0,517 Численные методы анализа ε – нет

|x3(1)-x3(0)| = |0,223–0| = 0,223 Численные методы анализа ε – нет

|x4(1)-x4(0)| = |0,288–0| = 0,288 Численные методы анализа ε – нет


Выполним вторую итерацию.

Подставим значения, полученные в первом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при втором приближении.


Численные методы анализа= -0,402

Численные методы анализа= 0,593

Численные методы анализа= 0,264

Численные методы анализа= 0,320


Выполним проверку полученных значений:


|x1(2)-x1(1)| = |-0,402+0,231| = 0,171 Численные методы анализа ε – нет,

|x2(2)-x2(1)| = |0,593–0,517| = 0,076 Численные методы анализа ε – нет,

|x3(2)-x3(1)| = |0,264–0,223| = 0,041 Численные методы анализа ε – нет,

|x4(2)-x4(1)| = |0,320–0,288| = 0,032 Численные методы анализа ε – нет.


Выполним третью итерацию.

Подставим значения, полученные во втором приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при третьем приближении.


Численные методы анализа= -0,429

Численные методы анализа= 0,596

Численные методы анализа= 0,268

Численные методы анализа= 0,326


Выполним проверку полученных значений:


|x1(3)-x1(2)| = |-0,429+0,402| = 0,027 Численные методы анализа ε – нет,

|x2(3)-x2(2)| = |0,596–0,593| = 0,003 Численные методы анализа ε – нет,

|x3(3)-x3(2)| = |0,268–0,264| = 0,004 Численные методы анализа ε – нет,

|x4(3)-x4(2)| = |0,326–0,320| = 0,006 Численные методы анализа ε – нет.


Выполним четвёртую итерацию.

Подставим значения, полученные в третьем приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при четвёртом приближении.


Численные методы анализа= -0,430

Численные методы анализа= 0,598

Численные методы анализа= 0,269

Численные методы анализа= 0,327


Выполним проверку полученных значений:


|x1(4)-x1(3)| = |-0,430+0,429| = 0,01 Численные методы анализа ε – да,

|x2(4)-x2(3)| = |0,598–0,596| = 0,002 Численные методы анализа ε – нет,

|x3(4)-x3(3)| = |0,269–0,268| = 0,001 Численные методы анализа ε – да,

|x4(4)-x4(3)| = |0,327–0,326| = 0,001 Численные методы анализа ε – да.


Выполним пятую итерацию.

Подставим значения, полученные в четвёртом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных при пятом приближении.


Численные методы анализа= -0,431

Численные методы анализа= 0,598

Численные методы анализа= 0,269

Численные методы анализа= 0,327


Выполним проверку полученных значений:


|x1(5)-x1(4)| = |-0,431+0,430| = 0,001 Численные методы анализа ε – да,

|x2(5)-x2(4)| = |0,598–0,598| = 0,000 Численные методы анализа ε – да,

|x3(5)-x3(4)| = |0,269–0,269| = 0,000 Численные методы анализа ε – да,

|x4(5)-x4(4)| = |0,327–0,327| = 0,000 Численные методы анализа ε – да.


Необходимая точность достигается в пятой итерации.

Ответ: х1 = -0,431,

х2 = 0,598,

х3 = 0,269,

х4 = 0,327.


2. Численные методы аппроксимации и интерполяции функций


2.1 Задание


Найти интерполяционный полином второго порядка


Численные методы анализа


методом неопределённых коэффициентов, используя данные нулевого, второго и четвёртого опытов.

Найти аппроксимирующий полином первого порядка


Численные методы анализаЧисленные методы анализа


методом наименьших квадратов.

Исходные данные


0 1 2 3 4

xi 0,1 0,3 0,5 0,8 1
yi 0,3 0,55 0,65 0,4 0,25

2.2 Метод неопределенных коэффициентов


Метод неопределённых коэффициентов реализуется подстановкой полинома Численные методы анализа в систему:


Численные методы анализа

где 0, 2, 4 номера заданных точек.

Подставим значения неизвестных из таблицы в систему:


Численные методы анализа (2.1.1.)


Решим полученную систему методом Гаусса.


Численные методы анализа (2.1.2.)


Прямой ход

Все уравнения системы являются нормированными, поэтому сразу вычтем из второго и третьего уравнения первое, чтобы исключить из системы а0.


Численные методы анализа

Численные методы анализа (2.1.3.)

Численные методы анализа

Похожие рефераты: