Численные методы анализа
(2.1.4.)
В итоге получаем систему уравнений:
(2.1.5.)
Рассмотрим систему (2.1.5.) без первого уравнения.
(2.1.6.)
Нормируем первое уравнение системы (2.1.6.):
(2.1.7.)
Умножим уравнение (2.1.7) на коэффициент при а1 второго уравнения системы (2.1.6.):
(2.1.8.)
Вычтем полученное уравнение (2.1.8.) из второго уравнения системы (2.1.6.), чтобы исключить из системы а1:
(2.1.9.)
В результате получим эквивалентную систему линейных алгебраических уравнений
(2.1.10.)
Нормируем последнее уравнение системы (2.1.10.)
(2.1.11.)
Получим систему, приведенную к треугольному виду.
(2.1.12.)
Обратный ход
а2 = -1,861;
а1 = 0,875–0,6·(-1,861) = 1,992;
а0 = 0,3–0,01·(-1,861) – 0,1·1,992= 0,119
В итоге мы получаем интерполяционный полином второго порядка:
у =
=
-1,861 х2+1,992 х+0,119
Построим график интерполяционного полинома. Для этого вычислим его значения в определенных точках.
|
xi |
0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 |
|
yi |
0,44 | 0,55 | 0,62 | 0,64 | 0,60 | 0,52 | 0,40 |
2.3 Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов реализуется с помощью, так называемой системы нормальных уравнений, имеющих матричный вид:
= 2,7
=
1,99
= 2,15
Выполним умножение матриц. Система нормальных уравнений примет вид:
(2.2.1)
Решим систему методом Гаусса.
Прямой ход
Нормируем первое уравнение системы (2.2.1)
(2.2.2)
Умножим полученное уравнение (2.2.2) на коэффициент при а0 во втором уравнении
(2.2.3)
Вычтем уравнение (2.2.3) из второго уравнения системы (2.2.1), чтобы исключить а0 из системы.
(2.2.4)
0,532а1 = -0,071
Получим новую систему уравнений:
(2.2.5)
Нормируем второе уравнение системы (2.2.5)
(2.2.6)
В результате получим систему линейных уравнений треугольного вида.
(2.2.7)
Обратный ход:
а1 = -0,133
а0 = 0,43–0,54·(-0,133) = 0,502
Решив полученную систему, мы получили коэффициенты аппроксимирующего полинома первого порядка.
Полином будет иметь вид:
y = -0,133х+0,502
3. Численные методы решений нелинейных уравнений.
3.1 Исходные данные
|
Уравнение |
Отрезок |
Шаг |
|
|
[0; 1] | 0,2 |
3.2 Отделение корней
Определим
корни уравнения
на отрезке [0;
1] с шагом 0,2
Подставим в функцию значение х, равное 0:
Подставим в функцию значение х, равное 0,2:
Подставим в функцию значение х, равное 0,4:
Подставим в функцию значение х, равное 0,6:
Подставим в функцию значение х, равное 0,8:
Подставим в функцию значение х, равное 1:
Из анализа полученных данных следует, что функция меняет знак на интервале [0,4; 0,6], следовательно, этот частичный интервал является интервалом изоляции корня, то есть на этом интервале существует корень, и при том единственный.
3.3 Уточнение корней методом половинного деления
Уточним
корни уравнения
с точностью
ε
0,001
1) Определим новое приближение корня к середине отрезка
Определим значение функции в точке с:
Выполним
проверку |f(c)|
ε
→ |0,066|
0.001 – нет
Найдем интервал, в котором находится корень:
f(a)∙f(c) = f (0,4)∙ f (0,5) = (+)∙(+) = (+)
Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.
Принимаем а = c = 0,5
В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,5; 0,6]
2) Определим новое приближение корня к середине отрезка
Определим значение функции в точке с:
Выполним
проверку |f(c)|
ε
→ |0,013|
0.001 – нет
Найдем интервал, в котором находится корень:
f(a)∙f(c) = f (0,5)∙ f (0,55) = (+)∙(+) = (+)
Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.
Принимаем a = c = 0,55
В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,6]
3) Определим новое приближение корня к середине отрезка
Определим значение функции в точке с:
Выполним
проверку |f(c)|
ε
→ |-0,013|
0.001 – нет
Найдем интервал, в котором находится корень:
f(a)∙f(c) = f (0,55)∙ f (0,575) = (+)∙(–) = (–)
Смена знака произошла, следовательно, корень находится на левой половине интервала изоляции корня.
Принимаем b = c = 0,575
В ачестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,575]
4) Определим новое приближение корня к середине отрезка
Определим значение функции в точке с:
Выполним
проверку |f(c)|
ε
→ |0,000|
0,001 – да.
Необходимое условие достигается на четвёртом приближении, где х = 0,563
Ответ: х = 0,563
3.4 Уточнение корней методом Ньютона
За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).
Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:
Проверим условие сходимости в точке b = 0,6:
1) За начальное приближение к корню принимаем значение х0, равное 0,6
Вычислим первое приближение:
Погрешность вычисления:
Приближенное значение корня х = 0,563
Ответ: х = 0,563
3.5 Уточнение корней методом простых итераций
Приведем уравнение к каноническому виду.
За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).
Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:
Примем
за нулевое
приближение
неизвестных
значение
Выполним первую итерацию
Найдем
значение
Выполним проверку:
|x1-x0| = |0,5484 – 0,4| = 0,1484 < 0,001 – нет
Выполним вторую итерацию
Найдем
значение
Выполним проверку:
|x2-x1|
= |0,5612 -0,5484| = 0,0128
0,001 – нет
Выполним третью итерацию
Найдем
значение
Выполним проверку:
|x3-x2|
= |0,5627 – 0,5612 | = 0,0015
0,001 – нет
Выполним четвёртую итерацию
Найдем
значение
Выполним проверку:
|x1-x0|
= |0,5629 – 0,5627| = 0,0002
0,001 – да
Приближенное значение корня х = 0,5629
4. Численные методы вычисления определенных интегралов
4.1 Исходные данные
|
Интеграл |
Шаг |
Точность |
|
|
|
0,001 |
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения xi, где i = 0,1,2..n.
0
0,4142
0,0985
0,5345
0,1989
0,6682
0,3033
0,8207
1
Результаты сведены в таблицу:
|
i |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
0 | 0,0985 | 0,1989 | 0,3033 | 0,4142 | 0,5345 | 0,6682 | 0,8207 | 1 |
4.2 Вычислим интеграл методом левых прямоугольников
Iлп
= h·[f(x0)
+ f(x1)
+ f(x2)
+ … + f(xn-1)]
=
·[0+0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207]
= 0,1491
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1491|
= 0,0239
=
0,001 – нет.
4.3 Вычислим интеграл методом правых прямоугольников
Iпп
= h·[f(x1)
+ f(x2)
+ f(x3)
+ … +
f(xn)]
=
·[0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207+1]
= 0,1982
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1982|
= 0,0252
=
0,001 – нет.
4.4 Вычислим интеграл методом центральных прямоугольников
Вычислим значения подынтегральной функции в центре каждого выделенного интервала:
0,0491
0,4730
0,1483
0,5994
0,2505
0,7416
0,3578
0,9063
Результаты сведены в таблицу:
|
i |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f с (x) |
0,0491 | 0,1483 | 0,2505 | 0,3578 | 0,4730 | 0,5994 | 0,7416 | 0,9063 |
Iцп
= h·[f
с(x1)
+ f с(x2)
+ f с(x3)
+ … + f
с(xn)]
=
·[0,0491+0,1483+0,2505+0,3578+0,4730+
+0,5994+0,7416+0,9063] = 0,1731
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1731|
= 0,0001
=
0,001 – да.
4.5 Вычислим интеграл методом трапеций
Iпп
= h·[
+ f(x1)
+ f(x2)
+ … + f(xn-1)]
=
·[
+0,0985+0,1989+0,3033+
+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1737
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1737|
= 0,0007
=
0,001 – да.
4.6 Вычислим интеграл методом парабол
Iпп
=
·[f(x0)
+ f(xn)
+ 4·(f(x1)
+ f(x3)
+ … +
f(xn-1))
+ 2·(f(x2)
+ f(x4)
+ … + f(xn-2))]
=
·[0
+1 + 4·(0,0985+0,3033+0,5345+0,8207) +
2·(0,1989+0,4142+0,6682)] = 0,1733
Ошибка вычисления:
О = |0,173–0,1733| = 0,0003
=
0,001 – да.
5. Численные методы решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
5.1 Исходные данные
|
Уравнение |
Начальные условия |
Интервал |
Шаг |
|
|
y(0) = 2,2 | [0; 0,25] | 0,05 |
Решим
дифференциальное
уравнение
первого порядка
в интервале
[0; 0,25] с шагом 0,05 и
начальными
условиями y(0)
= 2,2
5.2 Метод Эйлера
Запишем итерационные формулы метода Эйлера.
Вычислим значения функций при i = 0:
Вычислим значения функций при i = 1:
Вычислим значения функций при i =2:
Вычислим значения функций при i = 3:
Вычислим значения функций при i = 4:
Результаты расчетов сведены в таблицу:
|
i |
xi |
yi |
| 0 | 0 | 2,2 |
| 1 | 0,05 | 2,58 |
| 2 | 0,10 | 3,0312 |
| 3 | 0,15 | 3,5683 |
| 4 | 0,20 | 4,2094 |
| 5 | 0,25 | 4,9767 |
5.3 Модифицированный
метод