Алгебраические системы замыканий
Содержание
Введение
§1. Основные понятия и примеры
§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания
§3. Алгебраические системы замыканий
§4. Соответствия Галуа
§ 5. Задачи
Библиографический список
Введение
Важную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения . Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.
Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.
Задачи:
рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;
сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;
рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;
рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.
Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.
В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.
В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.
Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.
Последний параграф посвящен решению задач.
Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература.
Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:
∆ – начало доказательства;
▲ – конец доказательства.
В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число – номер параграфа, а второе – номер примера в параграфе.
Основными результатами работы являются:
доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу (X) = ∩{Y D | YX}. Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий D = {XA | (X) = X}.
доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.
установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.
решение задач.
§1. Основные понятия и примеры
Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.
Определение 1. Пусть L – непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение – отношение порядка. Множество L – упорядоченное множество.
Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.
Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.
В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 4. Пусть A – произвольное множество и B (A) – его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D и система D замкнута относительно пересечений, то есть
∩Y D для любой непустой подсистемы YD.
Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).
Одним из примеров системы замыканий является следующий:
Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.
Введем ещё одно важное понятие – понятие оператора замыкания на множестве.
Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:
J. 1. X(X);
J. 2. Если , то (X)(Y);
J. 3. (X) = (X)
для всех X, YB (A).
Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания равенством
(X) = ∩{YD | YX} для всех XA.
Отметим, что группа аксиом J. 1 – J. 3 является независимой. Покажем это.
Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.
Отображение , при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:
, AA;
{a}{a, b}, {b}A, {c}{b, c};
{a, b}A, {a, c}A, {b, c}A.
Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как (a) = A≠{a, b} = (a).
Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:
, AA;
{a}A, {b}A, {c}A;
{a, b}{a, b}, {a, c}{a, c}, {b, c}{b, c}.
Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a}{a, b}, но ({a}) = A{a, b} = ({a, b}).
Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.
Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.
Определение 6. Оператор замыкания на множестве A называется алгебраическим, если для любых XA и aA
а(X) влечет a(F)
для некоторого конечного подмножества F множества X.
С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.
Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания является алгебраическим, то есть для любого XA
a{ D D : X D} влечёт a{ D D : F D}
для некоторого конечного FX.
Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.
Пример 1.2: Пусть – топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X[X], где [X] – замыкание множества XA. Покажем, что – оператор замыкания на множестве A.
Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.
Если XY, то [X][Y].
Возьмем x0[X]. Тогда любая окрестность точки x0 содержит точки множества Xв любой окрестности точки x0 содержатся точки множества Yx0[Y].
X[X].
Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].
[[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.
[X][[X]]. Доказано во втором пункте.
x0[[X]]Возьмем U (x0), для неё y0U (x0)[X]y – точка прикосновения множества XU (y0) найдутся точки множества X. Возьмем U (y0)U (x0), z0U (y0)X. Отсюда z0U (x0)X. Тогда x0 – точка прикосновения множества Xx0[X]. Таким образом, [[X]][X].
Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R2 поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A.
Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.
Доказательство:
∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.
Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.
Рассмотрим XA, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, xy для любого xX; если также xz для любого xX, то zY и, следовательно, yz. Поэтому y = sup X. ▲
Определение 8. Упорядоченное множество (I,) называется направленным, если для любых i, jI существует такой элемент kI, что ik, jk, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.
Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:
Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.
Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.
Доказательство:
∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i)(ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲
Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент ba, являющийся максимальным в A.
Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.
Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.
§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания
В параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.
Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу
(X) = ∩{Y D | YX}.
Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий
D = {XA | (X) = X}.
Доказательство:
∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X) = ∩{Y D | YX}. Докажем, что – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда
(X) = XXD, (1)
так как (X) D, то отсюда вытекает J. 3.
2) Обратно, пусть задан оператор замыкания (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть
D = {XA | (X) = X}. (2)
Докажем, что D – система замыканий. Если (Xi)iI – произвольное семейство в D и ∩Xi = X, то XXi; следовательно, по J. 1. (X)(Xi) = Xi для всех i, и поэтому
(X)∩Xi = X.
Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть XD. Таким образом, с помощью мы построили систему замыканий D.
3) Покажем, что соответствие D взаимно однозначно.
Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий, – оператор, определенный равенством (X) = ∩{YD | YX} для всех XA, и D ' – система замыканий, определенная оператором по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором по формуле (2), а ' – оператор, определенный системой D по формуле (X) = ∩{YD | YX}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором ', и, следовательно,
(X) = X '(X) = X. (3)
В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что '(X) = (X). Но X(X) и, применяя ' получаем '(X) '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲
Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.
На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.
Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (Xi)iI в D, то множество ∩Xi будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах Xi, а ∩{YD | YXi для всех iI} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества Xi.
§3. Алгебраические системы замыканий
Начнем с понятия алгебраической операции.
Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n, nN{0}.
Для любого натурального n n-арная операция ω – это отображение из An в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a1; …; an}An операция ω ставит в соответствие однозначно определённый элемент ω(a1; …; an) из A.
В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).
Если n = 0, то a0 – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a0 в некоторый элемент ω(a0) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.
Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Ω, то подмножество BA называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ωΩ, n1, и любых а1, а2, …, апB должно быть
ω(а1, а2, …, ап)B.
С другой стороны, элементы, отмечаемые в