Xreferat.com » Рефераты по математике » Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений


Допущена к защите

Зав. кафедрой Мироненко В.И.

"" 2007 г.


Системы, эквивалентные системам с известными

качественными свойствами решений

Дипломная работа


Исполнитель:

студентка группы М-51 Поляк Е.М.

Научный руководитель:

к. ф. - м. н., старший преподаватель Вересович П.П.

Рецензент:

к. ф. - м. н., доцент кафедры ВМП Карасёва Г.Л.


Гомель 2007

Содержание


Введение

§1. Отображение Пуанкаре

§2. Общие сведения об отражающей функции

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

§4. Стационарный интеграл

§5. Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам

§6. О некоторых аспектах применения отражающей функции для исследования свойств решений дифференциальных систем

Заключение

Список используемых источников


Введение


Многочисленные нужды практики приводят нас к необходимости моделирования динамики развития реальных систем, а тем самым и зачастую к необходимости построения систем дифференциальных уравнений с определёнными свойствами. При моделировании задач классической физики дифференциальные равнения появляются естественным образом, когда мы формулируем на математическом языке соответствующие физические законы. В последнее время, однако, всё чаще приходится иметь дело с более сложными реальными системами, и здесь на первый план выходит качественное моделирование. При этом очень часто нам приходится составлять модели таких реальных систем, для которых общие фундаментальные законы могут служить лишь некоторым ориентиром. В этом случае мы, как правило, вынуждены отказаться от точных количественных оценок и строить модель, отражающую лишь качественные стороны поведения системы. Обычно это достигается искусным заданием правых частей соответствующей дифференциальной системы.

Полученная при моделировании дифференциальная система оказывается, как правило, достаточно сложной для исследования. Поскольку наша задача состоит лишь в выяснении качественной стороны эволюции реальной системы, то при изучении полученной дифференциальной системы мы можем заменить её на качественно эквивалентную её дифференциальную систему.

Таким образом, практика ставит перед нами следующие задачи:

задача некоторой унификации построения дифференциальных систем с заданными качественными свойствами;

в том случае, когда уже построена некоторая сложная дифференциальная система, встаёт задача о замене этой системы ей качественно эквивалентной, но удобной для дальнейшего исследования.

Для решения этих задач было бы разумно с одной стороны, иметь набор соответствующих модельных систем, т.е. достаточно богатый набор качественно различных дифференциальных систем, а с другой стороны, обладать математическим аппаратом, позволяющим устанавливать качественную эквивалентность модельной системы и исследуемой дифференциальной системы.

Качественное поведение решений дифференциальных систем во многом определяется наличием и количеством периодических решений, их начальными условиями.

Для выяснения вопросов о наличии и количестве периодических решений периодических систем наиболее часто используется отображение Пуанкаре и метод отражающей функции. Ниже будут приведены некоторые сведения о них.

Значительное число работ учёных всех стран мира посвящено качественному исследованию автономных дифференциальных систем небольших размерностей.

Неавтономные дифференциальные системы даже не высоких размерностей изучаются менее интенсивно из-за отсутствия методик их прямого исследования.

Получить сведения, о качественном поведении решений исследуемой неавтономной дифференциальной системы, возможно, установив её эквивалентность, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальной системы, стационарной или нестационарной, качественный портрет решений которой известен.

В данной работе рассматривается задача о построении дифференциальных систем, эквивалентных в смысле совпадения отражающих функций, системам с известным первым интегралом.

§1. Отображение Пуанкаре


Рассмотрим систему


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


Будем считать, что эта система удовлетворяет следующим условиям:

а) при всех Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений задача Коши для системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений имеет единственное решение Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

б) система Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийпериодична по Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, т.е. Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

Чтобы не делать далее оговорок, будем считать также, что все решения системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений существуют при Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Отображение Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений называют оператором или отображением сдвига вдоль решений системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений [1]. Имеют место следующие свойства оператора сдвига вдоль решений системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.


Каждое из этих свойств вытекает из свойств функции Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

Докажем, к примеру, свойство Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, которое равносильно тождеству


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


Для его доказательства отметим, что в силу Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийпериодичности системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений функция Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, как и функция Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений является решением системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений. При Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений эти решения совпадают. Поэтому они обязаны совпадать и при всех Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, в том числе и при Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений т.е. должно иметь место тождество Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, а с ним и свойство Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

Отображение Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений при любом Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений называют отображением за период, или отображением Пуанкаре для системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений. Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений для которых решение Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений определено при всех Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

Общий принцип.

Для того, чтобы продолжимое на Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений решение Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений было Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийпериодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений была неподвижной точкой отображения Пуанкаре Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

Необходимость очевидным образом следует из Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийпериодичности решения Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

Достаточность. Пусть Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений есть неподвижная точка отображения за период Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений. Это означает, что


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


Функция Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений определена на некотором множестве, содержащем отрезок Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, и в силу Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийпериодичности системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений является решением системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений. Согласно Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений оба решения Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений и Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений при Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений совпадают. Так как решения системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений однозначно определяются своими начальными условиями, то


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.


Теорема доказана.

Таким образом, если при каком-то Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений удаётся отыскать отображение за период Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, то из уравнения Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений будут найдены начальные данные всех Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийпериодических решений.

Создаётся впечатление, что отображение Пуанкаре можно найти только зная общее решение дифференциальной системы.

Для отыскания отображения Пуанкаре (отображение за период) можно использовать некоторые вспомогательные функции, которые не совпадая с общим решением Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений во всей области существования решения, совпадают с ним на гиперплоскостях, отличающихся на период. Если такая функция будет найдена, то будет найдено и отображение за период.

В.И. Мироненко в качестве такой функции использовал функцию Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений [2,3], которую назвал отображающей функцией. При известной отображающей функции Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийпериодической дифференциальной системы отображение за период Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений определяется формулой


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


В дальнейшем будем полагать Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, где Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийполовина периода.

Приведём теперь известные факты об отражающей функции [3,4].


§2. Общие сведения об отражающей функции


Рассмотрим систему


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений,

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений. Общее решение в форме Коши обозначим через Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений). Через Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийобозначим интервал существования решения Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений.

Пусть


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


Отражающей функцией системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений назовём дифференцируемую функцию Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений, определяемую формулой


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


Для отражающей функции справедливы свойства:

для любого решения Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решенийсистемы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений верно тождество


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


для отражающей функции Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений любой системы выполнены тождества


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

дифференцируемая функция Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений будет отражающей функцией системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных


Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений


и начальному условию Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Совокупность условия Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений и начального условия Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений назовём основным соотношением для отражающей функции.

Как известно, в большинстве случаев система дифференциальных уравнений Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений не может быть проинтегрирована в элементарных функциях или в квадратурах. Это вынуждает исследовать решения системы по самим дифференциальным уравнениям.

Знание отражающей функции системы Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений позволяет решать вопросы существования, количества и начальные данные периодических решений

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: