Xreferat.com » Рефераты по математике » Объем фигур вращения правильных многогранников

Объем фигур вращения правильных многогранников

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ ГОМЕЛЬСКОГО ГОРОДСКОГО

ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО КОМИТЕТА

Государственное учреждение образования

«Средняя общеобразовательная школа №22 г. Гомеля»


Учебно-исследовательская работа

«Объем фигур вращения правильных многогранников»


Ученика 11 «А» класса

ГУО СОШ№22 г. Гомеля

Гончарова Дмитрия Евгеньевича

Научный руководитель –

Горский Сергей Михайлович,

учитель математики Государственного

учреждения образования

СОШ №22 г. Гомеля


Гомель, 2009

Содержание


Введение. Фигуры вращения правильных многогранников

1. Виды поверхностей в фигурах вращения

2. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения

3. Классификация задач на вращение многогранников

4. Решение задач на вращение многогранников

Заключение

Список литературы

Введение


Каждое геометрическое тело имеет поверхность, и если она состоит из плоских многоугольников, то такое тело называется многогранником, а составляющие его поверхность многоугольники – гранями. Границы между гранями называются ребрами, а точки, в которых ребра соединяются, — вершинами многогранника.

Таким образом, многогранники – это тела, ограниченные плоскими многоугольниками. Они окружают нас повсюду: ведь самая популярная форма современного здания, телевизора, мебели – параллелепипед. Например, рассмотрим

Использование теории правильных многогранников в архитектуре

Национальная библиотека в Минске (Авторы проекта здания – Михаил Виноградов и Виктор Крамаренко.)

Перевернутая пирамида – использованная при построении здании современного искусства в Каракасе (Архитектор Оскар Нимейер).

Звездчатые многогранники – создание на их основе проектов административного здания в Италии и национальной библиотеки в Дамаске (В.А. Сомов, А.М. Бреславец, В.Н. Гамаюнов).

Объектом исследования в данной исследовательской работе являются фигуры вращения правильных многогранников. Предмет исследования – объем тел вращения.

Работая над темой, мне удалось собрать удивительно интересный материал о правильных многогранниках. Оказалось, что даже тайна мироздания связана с этими пятью правильными многогранниками.

В процессе исследования были построены развертки и модели многогранников, сформулированы и решены задачи на вычисление объемов фигур вращения.

Фигуры вращения правильных многогранников

Поверхностью вращения называют фигуру, которая получается вращением какой-либо линии.

Если для какой-то фигуры существует прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, то эту фигуру называют фигурой вращения. При этом прямая, любой поворот вокруг которой отображает фигуру саму на себя, называется осью вращения.

Телом вращения называют всякое геометрическое тело, которое является фигурой вращения.

Тела вращения характеризуются линией, которая при своем вращении относительно оси образует поверхность тела вращения. Эту линию для данного тела вращения называю образующей.

1. Виды поверхностей в фигурах вращения


Образующими поверхностей вращения в задачах представленных в данной работе служат ребра многогранника, т.е. общие стороны двух граней многогранника.

При вращении любого многогранника вокруг произвольной оси получается тело вращения, которое может быть ограничено только следующими поверхностями:

плоскостью;

цилиндрической поверхностью;

конической поверхностью;

поверхностью однополостного гиперболоида.

Если прямая (образующая поверхности) перпендикулярна оси вращения, то получается плоскость.

Если прямая (образующая поверхности) параллельна оси вращения, то получается цилиндрическая поверхность.

Если прямая (образующая поверхности) пересекает ось вращения, то получается коническая поверхность.

Если прямая (образующая поверхности) скрещивается с осью вращения, то получается однополостный гиперболоид вращения.

Итак, если прямая (образующая поверхности) скрещивается с осью вращения, то получается однополостный гиперболоид вращения.

Образующими поверхности однополостного гиперболоида в рассматриваемых задачах являются ребра многогранников, лежащие на прямых, скрещивающихся с осью вращения.


2. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения


Правильные многогранники можно вписать в сферу, поэтому все задачи на вращение правильных многогранников, содержащие пересекающиеся поверхности вращения, удовлетворяют следующей теореме.

Теорема Монжа

Две поверхности второго порядка, которые касаются третьей поверхности второго порядка по плоским кривым линиям, пересекаются между собой по плоским кривым линиям второго порядка.

Очевидно, что в рассматриваемых задачах на вращение правильных многогранников линиями пересечения поверхностей вращения являются окружности.

Как отмечалось, фигуры, полученные в результате вращения многогранника относительно произвольной оси, ограничены лишь такими видами поверхностей как:

коническая поверхность,

цилиндрическая поверхность,

круг или кольцо,

однополостный гиперболоид.

В задачах 3.2 и 4.2 пересекаются поверхность однополостных гиперболоидов с цилиндрической поверхностью. Образующими этих поверхностей вращения являются ребра многогранников, которые, будучи сторонами правильных многоугольников с нечетным числом сторон, несут в себе интересную закономерность относительно высот каждого вида указанных поверхностей для фигуры вращения.


Объем фигур вращения правильных многогранников
Теорема. Если правильный многоугольник с нечетным числом сторон вращается относительно оси, параллельной одной из его сторон и проходящей через перпендикуляр к плоскости многоугольника в центре его, то расстояние до оси вращения линии пересечения однополостного гиперболоида и цилиндрической поверхности, образующими которых являются стороны многоугольника, равно расстоянию от оси вращения до стороны многоугольника, параллельной этой оси.


3. Классификация задач на вращение многогранников


Правильный тетраэдр - четырехгранник.

Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра относительно оси, проходящей через его ребро, если ребро тетраэдра равно a.

Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра относительно оси, проходящей через центр грани и противоположную вершину, если ребро тетраэдра равно a.

Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра относительно оси, проходящей через среднюю линию боковой грани, если ребро тетраэдра равно a.

Куб (или правильный гексаэдр)- шестигранник

Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через противоположные вершины, если ребро куба равно a.

Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через середины его противоположных ребер, если ребро куба равно a.

Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через центры его противоположных граней, если ребро куба равно a.

Октаэдр- восьмигранник

Вычислить объем тела, полученного вращением октаэдра относительно оси, проходящей через противоположные вершины, если ребро октаэдра равно a.

Вычислить объем тела, полученного вращением октаэдра относительно оси, проходящей через середины его противоположных ребер, если ребро октаэдра равно a.

Вычислить объем тела, полученного вращением октаэдра относительно оси, проходящей через центры его противоположных граней, если ребро октаэдра равно a.


4. Решение задач на вращение многогранников


ТЕТРАЭДР

Задача 1.1.

Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра

относительно оси, проходящей через его ребро, если ребро тетраэдра равно а.

Решение:

В данном случае прямые (образующие поверхности) пересекают ось вращения, значит, в результате вращения получаются конические поверхности с общим основанием.

Объем фигур вращения правильных многогранников


Объем фигур вращения правильных многогранников; Объем фигур вращения правильных многогранников

Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников;


Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Объем фигур вращения правильных многогранников

Задача 1.2.

Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра

относительно оси, проходящей через центр грани и противоположную вершину (т.е. через высоту тетраэдра), если ребро тетраэдра равно а.

Решение:

Прямые (образующие поверхности) пересекают ось вращения, значит, в результате вращения получается коническая поверхность.

Объем фигур вращения правильных многогранников
Фигура вращения представляет собой конус, в основании которого находится окружность, описанная около правильного треугольника (грани тетраэдра), а образующие конуса – ребра тетраэдра.


Объем фигур вращения правильных многогранников
Объем фигур вращения правильных многогранников, где Объем фигур вращения правильных многогранников;


Так как основанием тетраэдра является правильный треугольник, следовательно


Объем фигур вращения правильных многогранников;


Для вычисления высоты конуса (Н) рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором гипотенуза ВС – ребро тетраэдра – по условию равна а. Катет АВ – это радиус окружности описанной около равностороннего треугольника со стороной а, следовательно,


АВОбъем фигур вращения правильных многогранников


Тогда по теореме Пифагора

Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников.


Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Задача 1.3.

Вычислить объем тела, полученного вращением тетраэдра

относительно оси, проходящей через среднюю линию грани тетраэдра, если ребро тетраэдра равно а.

Объем фигур вращения правильных многогранников
Решение:


В результате вращения образуется тело вращения, состоящее из двух усеченных конусов с общим основанием. Причем, в каждом из них «вырезается» конус при меньшем основании (см. рис.). Таким образом,

Объем фигур вращения правильных многогранников;


Объем фигур вращения правильных многогранников

Найдем R1 из треугольника АВС, где АС – средняя линия грани тетраэдра (АС = Объем фигур вращения правильных многогранниковпо свойству средней линии); АВ = СВ =Объем фигур вращения правильных многогранников. Тогда по теореме Пифагора


Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников;


Для нахождения R2 через вершину N основания тетраэдра проведем прямую ND параллельную СК. Объем фигур вращения правильных многогранников. Четырехугольник NDCK – параллелограмм (так как стороны попарно параллельны), следовательно, треугольник DNA равносторонний со стороной Объем фигур вращения правильных многогранников. Тогда


Объем фигур вращения правильных многогранников; Объем фигур вращения правильных многогранников.

Объем фигур вращения правильных многогранников

Объем фигур вращения правильных многогранников


Таким образом, окончательно получаем:


Объем фигур вращения правильных многогранников


Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


ГЕКСАЭДР (Куб)

Задача 2.1.

Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через противоположные вершины, если ребро куба равно а.

Решение:


Объем фигур вращения правильных многогранников


В результате вращения образуется тело, состоящее из двух конусов и однополостного гиперболоида (см. рис.).

Так как RВ = RН = R, то

Объем фигур вращения правильных многогранников.


Таким образом,


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Объем фигур вращения правильных многогранников

1). Для нахождения объема конуса рассмотрим правильную треугольную пирамиду.

Так как основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной


Объем фигур вращения правильных многогранников, то Объем фигур вращения правильных многогранников


H1 находим из прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна а, а один из катетов равен R.

Тогда


Объем фигур вращения правильных многогранников.

Таким образом


Объем фигур вращения правильных многогранников


2). Найдем объем однополостного гиперболоида вращения по формуле Симпсона.


Объем фигур вращения правильных многогранников


Так как RВ = RН = R, то


Объем фигур вращения правильных многогранников


Перпендикулярным сечением данного тела вращения является правильный шестиугольник, сторона которого равна половине диагонали грани куба, следовательно, равна


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Таким образом, RСР является радиусом окружности описанной около правильный шестиугольника со стороной


Объем фигур вращения правильных многогранников,

значит


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Откуда


Объем фигур вращения правильных многогранников


Так как часть оси вращения, заключенная внутри тела вращения (H) – суть диагональ куба, следовательно,


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Тогда


Объем фигур вращения правильных многогранников


Значит,


Объем фигур вращения правильных многогранников

Объем фигур вращения правильных многогранников;

Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Задача 2.2.

Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через середины его противоположных ребер, если ребро куба равно а.

Решение:


Объем фигур вращения правильных многогранников

В результате вращения образуется тело, состоящее из двух гиперболоидов вращения с общим основанием (см. рис.).


Объем фигур вращения правильных многогранников

Таким образом,


Объем фигур вращения правильных многогранников, где


RВ равно половине ребра куба, т.е. равно Объем фигур вращения правильных многогранников;

RН – радиус окружности, описанной около прямоугольника со сторонами Объем фигур вращения правильных многогранников, следовательно, равен Объем фигур вращения правильных многогранников.

H – высота тела вращения – равна половине диагонали грани куба, т.е. равна Объем фигур вращения правильных многогранников.

RСР можно найти как медиану в прямоугольном треугольнике с катетами Объем фигур вращения правильных многогранников и RВ, гипотенуза которого равна RН (смотри рисунок).

Таким образом, получаем,


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Окончательно получаем:


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Задача 2.3.

Вычислить объем тела, полученного вращением куба относительно оси, проходящей через центры его противоположных граней, если ребро куба равно а.

Решение:

Фигурой вращения является цилиндр, основанием которого служит окружность, описанная около квадрата (грани куба). Высота цилиндра (H) равна ребру куба и равна а.

Объем фигур вращения правильных многогранников


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Так как в основании цилиндра находится окружность, описанная около квадрата, значит


Объем фигур вращения правильных многогранников; Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников


Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Октаэдр

Задача 3.1.

Вычислить объем тела, полученного вращением октаэдра относительно оси, проходящей через противоположные вершины, если ребро октаэдра равно а.

Решение:

В данном случае прямые (образующие поверхности) пересекают ось вращения, значит, в результате вращения получаются конические поверхности с общим основанием.

Объем фигур вращения правильных многогранников


Объем фигур вращения правильных многогранников; Объем фигур вращения правильных многогранников

Объем фигур вращения правильных многогранников;


Так как R – радиус окружности, описанной около квадрата со стороной а, то


Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников;

Объем фигур вращения правильных многогранников;

Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Задача 3.2.

Вычислить объем тела, полученного вращением октаэдра относительно оси, проходящей через середины его противоположных ребер, если ребро октаэдра равно а.

Объем фигур вращения правильных многогранников
Решение:


Объем фигур вращения правильных многогранников
Тело, полученное при данном типе вращения, состоит из двух равных цилиндров и двух гиперболоидов вращения с общим основанием.


Следовательно,


Объем фигур вращения правильных многогранников


Для нахождения радиусов и высот элементов, из которых состоит тело вращения, воспользуемся теоремой о линиях пересечения цилиндрической и гиперболической поверхностей вращения.


Объем фигур вращения правильных многогранников (половина ребра октаэдра)


RН равен половине главной диагонали октаэдра, следовательно,


Объем фигур вращения правильных многогранников.


RСР находим как медиану треугольника А3ОN (см. рисунок).


1). ∆ОМА3: Объем фигур вращения правильных многогранников.


Объем фигур вращения правильных многогранников, следовательно, Объем фигур вращения правильных многогранников.

Пусть ML = x, тогда


Объем фигур вращения правильных многогранников.


С другой стороны


Объем фигур вращения правильных многогранников


Откуда


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Следовательно,


Объем фигур вращения правильных многогранников,


тогда


Объем фигур вращения правильных многогранников.

2). ∆NOA3: Объем фигур вращения правильных многогранников.


Пусть Объем фигур вращения правильных многогранников, тогда по теореме косинусов:


Объем фигур вращения правильных многогранников, откуда

Объем фигур вращения правильных многогранников,


тогда из ∆А3OK находим

Объем фигур вращения правильных многогранников

3). Объем фигур вращения правильных многогранников.

Объем фигур вращения правильных многогранников;


Объем гиперболоида найдем по формуле Симпсона:


Объем фигур вращения правильных многогранников


Окончательно получаем:


Объем фигур вращения правильных многогранников


Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Задача 3.3.

Вычислить объем тела, полученного вращением октаэдра относительно оси, проходящей через центры его противоположных граней, если ребро октаэдра равно а.

Решение:

Объем фигур вращения правильных многогранников


В данном случае прямые (образующие поверхности) скрещиваются с осью вращения, значит, в результате вращения получается гиперболическая поверхность.

По формуле Симпсона


Объем фигур вращения правильных многогранников


RВ = RН = R – радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной а (грани октаэдра). Следовательно,


Объем фигур вращения правильных многогранников.


Так как перпендикулярным сечением денного тела вращения является окружность, описанная около правильного шестиугольника со стороной Объем фигур вращения правильных многогранников (как средняя линия грани октаэдра), то


Объем фигур вращения правильных многогранников.

Объем фигур вращения правильных многогранников

Н находим из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:


Объем фигур вращения правильных многогранников


Окончательно получаем:


Объем фигур вращения правильных многогранников


Ответ: Объем фигур вращения правильных многогранников


Заключение


Геометрия развивает воображение, говорит о

Похожие рефераты: