Метод квадратных корней
Размещено на /
Введение
Система линейных алгебраических уравнений – математическая модель, которая описывает состояние равновесия экономического объекта, которое называется установившимся режимом или статикой объекта. Экономическая статика изучает допустимые и рациональные состояния экономического объекта.
Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
или в матричной форме
Ax = b,
где
- матрица коэффициентов,
- столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно.
Если матрица А неособенная, т.е.
то система (1.1) имеет единственное решение. В этом случае решение системы (1.1) с теоретической точки зрения не представляет труда. Значения неизвестных xi (i=1,2,…n) могут быть получены по известным формулам Крамера
крамер квадратный корень матрица
где матрица Ai получается из матрицы А заменой ее i-го столбца столбцом свободных членов.
Но такой способ решения линейной системы с n неизвестными приводит к вычислению n + 1 определителей порядка n, что представляет собой весьма трудоемкую операцию при сколько-нибудь большом числе n.
Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы: точные и приближенные.
Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), приводят к точным значениям неизвестных xi. Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями, то и значения неизвестных, полученные точным методом, неизбежно будут содержать погрешности. К точным методам относятся, например, метод Гаусса, метод квадратных корней.
Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x1, x2, …, xn) лишь с заданной точностью. Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и др. Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений.
Данная контрольная работа имеет следующую структуру: в начале рассматривается математическая постановка задачи для метода квадратных корней при решении систем линейных алгебраических уравнений. Затем производится реализация данного метода с помощью вычислительных средств ЭВМ, а именно прикладной программой Matlab 6.5. На примере реализации нескольких тестовых задач проводится анализ точности данного метода, а именно когда наиболее эффективно применять метод квадратных корней при решении систем линейных алгебраических уравнений. Анализ проводится на основе матрицы А (ее мерности, разреженности, обусловленности. Результаты, полученные на основе метода квадратных корней, приведены в конце данной работы. Также в работе представлен графический материал. По окончании проведения исследования работа завершается логическим заключением.
Математическая постановка задачи
Метод квадратных корней используется для решения линейной системы
Ax = b,
у которой матрица А симметрическая, т.е.
aij = aji (i, j = 1, 2, …, n).
Метод является более экономным и удобным по сравнению с решением систем общего вида.
Решение системы осуществляется в два этапа.
Прямой ход. Представим матрицу А в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц:
А
= Тў
Т,
где
.
Перемножая матрицы Tў и T и приравнивая матрице A, получим следующие формулы для определения tij:
После
того, как матрица
Т найдена, систему
(1.2) заменяем двумя
эквивалентными
ей системами
с треугольными
матрицами
Tўy = b, Tx = y.
Обратный ход. Записываем в развернутом виде системы (1.5):
Отсюда последовательно находим
При вычислениях применяется обычный контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются все коэффициенты соответствующей строки.
Заметим, что при действительных aij могут получиться чисто мнимые tij. Метод применим и в этом случае.
Описание программного обеспечения (согласно стандартам на ИТ)
Для изучения данного метода было выбрано программное обеспечение: Matlab 6.5, в операционной системе Windows XP Professional. На этапе проектирования была создана программа Square (‘квадрат’). Входными переменными для данной программы является матрица A и соответствующая ей матрица B. Результатом выполнения данной программы является матрица X (выходная переменная), которая является решением системы линейных алгебраических уравнений.
Ниже описан алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5:
A=input('Введите матрицу A=');
B=input('Введите B=');
if A==A'
if det(A)~=0
s=size(A,1);
if size(B',1) == s
T=zeros(s);
T(1,1)=sqrt(A(1,1));
for k=2:s
T(1,k)=A(1,k)/T(1,1)
end
for j=2:s
for i=2:s
if i==j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)^2
end
T(i,i)=sqrt(A(i,i)-sm)
else
if i<j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*T(k,j)
end
T(i,j)=(A(i,j)-sm)/T(i,i)
end
end
end
end
Y=zeros(s,1)
Y(1)=B(1)/T(1,1)
for i=2:s
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*Y(k)
end
sm
Y(i)=(B(i)-sm)/T(i,i)
end
X=zeros(s,1)
X(s)=Y(s)/T(s,s)
for m=1:(s-1)
i=s-m
sm=0
for k=(i+1):s
sm=sm+T(i,k)*X(k)
sm
end
X(i)=(Y(i)-sm)/T(i,i)
E=A*X-B'
end
else
error('B не соответствует матрице А')
end
else
error('det А = 0')
end
else
B = B*A'
A = A*A'
if det(A)~=0
s=size(A,1);
if size(B',1) == s
T=zeros(s);
T(1,1)=sqrt(A(1,1));
for k=2:s
T(1,k)=A(1,k)/T(1,1)
end
for j=2:s
for i=2:s
if i==j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)^2
end
T(i,i)=sqrt(A(i,i)-sm)
else
if i<j
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*T(k,j)
end
T(i,j)=(A(i,j)-sm)/T(i,i)
end
end
end
end
Y=zeros(s,1)
Y(1)=B(1)/T(1,1)
for i=2:s
sm=0
for k=1:(i-1)
sm=sm+T(k,i)*Y(k)
end
sm
Y(i)=(B(i)-sm)/T(i,i)
end
X=zeros(s,1)
X(s)=Y(s)/T(s,s)
for m=1:(s-1)
i=s-m
sm=0
for k=(i+1):s
sm=sm+T(i,k)*X(k)
sm
end
X(i)=(Y(i)-sm)/T(i,i)
end
else
error('B не соответствует матрице А')
end
else
error('det А = 0')
end
end
Описание тестовых задач
Результатом разработки программы является этап реализации и тестирования метода квадратных корней. На этапе выполнения программы может появляться неточность полученного решения из-за ошибки вычисления (например, ошибки округления ЭВМ). Исследуем влияние мерности матрицы A, ее обусловленности, разреженности на точность полученного решения. Результат будем оценивать по невязке ε = Ax* - b (x* - полученное решение). Для этого рассмотрим разного рода матрицы:
влияние мерности матрицы А;
Рассмотрим матрицы мерности 2ґ2, 3ґ3, 4ґ4 и 5ґ5. Зададим матрицу мерностью 2ґ2:
,
ей соответственно
зададим
,
в результате
выполнения
программы
получим решение:
X =
ε
=
Зададим матрицу размерностью 3ґ3:
,
ей соответственно
зададим
,
в результате
выполнения
программы
получим решение:
X =
ε
=
Зададим матрицу размерностью 4ґ4:
,
ей соответственно
зададим
,
в результате
выполнения
программы
получим решение:
X =
ε
=
Зададим матрицу размерностью 5ґ5:
,
ей соответственно
зададим
,
в результате
выполнения
программы
получим решение:
X =
ε
=
Сравним
полученные
результаты,
для этого
проанализируем
точность полученного
решения. Результат
мы можем оценить
двумя способами
и
,
где E
– матрица, полученная
в результате
подстановки
найденного
решения в систему
линейных
алгебраических
уравнений:
Е=A*x-b.
Проиллюстрируем
результаты
графически.
Для этого была
разработана
программа в
среде Matlab
6.5.
E2=input('Введите матрицу Е2=');
E3=input('Введите матрицу Е3=');
E4=input('Введите матрицу Е4=');
E5=input('Введите матрицу Е5=');
Q1=sqrt(sum(power(E2,2)));
Q2=sqrt(sum(power(E3,2)));
Q3=sqrt(sum(power(E4,2)));
Q4=sqrt(sum(power(E5,2)));
Q = [Q1 Q2 Q3 Q4];
abs(E2);
abs(E3);
abs(E4);
abs(E5);
a1=max(abs(E2));
a2=max(abs(E3));
a3=max(abs(E4));
a4=max(abs(E5));
A = [a1 a2 a3 a4];
E = [2 3 4 5];
plot (Q,E)
pause
plot (A,E)
На основе проведенного анализа и иллюстрации графиков можно сделать вывод, что с увеличением мерности матрицы увеличивается неточность решения.
влияние обусловленности матрицы А;
Для исследования возьмем матрицу следующего вида, которую в последствии будем заполнять нулями, прослеживая результат изменения ошибки:
,
ей соответственно
зададим
X =
-6.1000
-2.2000
-6.8000
-0.9000
0.2000
E =
-0.0389
-0.7994
0.2665
-0.0888
0.0888
,
ей соответственно
зададим
X =
-0.7869
-1.3706
-2.1805
-0.0204
1.5371
E =
0
0
0.2665
0
0
,
ей соответственно
зададим
X =
-0.4950
0.1575
5.0050
4.7700
-5.5025
E =
0
0
0
-0.7105
0.4441
,
ей соответственно
зададим
X =
-4.1125
1.0263
-1.0750
1.2947
-1.2313
E =
-0.0444
0
0.0888
-0.0888
0.1776
,
ей соответственно
зададим
X =
0.5000
1.0263
1.6667
1.2947
0.8250
E =
0
0
0.8882
-0.8882
0
Четкой тенденции проследить невозможно, хотя видно на основе предложенной матрицы А, что с увеличение числа нулей, присутствующих в матрице, точность решения увеличивается, т.к. уменьшается число элементов задействованных в вычислении, то и снижается ошибка вычислений.
обусловленность матрицы А;
Зададим матрицу с практически равными элементами. В последствии будем увеличивать ее размерность.
,
ей соответствует
X =
-1.6499
-1.6501
E =
0
-0.9313
,
ей соответствует
X =
-1.6522
0.7500
2.3978
E =
0
0.1863
0
,
ей соответствует
X =
0.0018
2.4041
2.3978
0.0033
E =
-0.0167
0.0371
-0.0371
-0.3558
Обусловленность матрицы снижает ошибку вычислений у матриц с более высокой размерностью, т.е. с увеличением размерности разряженной матрицы ее точность увеличивается (ошибка вычислений снижается).
Анализ результатов
Подводя итоги можно сделать следующий вывод. Точность решения зависит как от обусловленности, разреженности и мерности матрицы, так и в целом комбинация этих составляющих влияет на точность полученного решения. Хотя в некоторых случаях однозначного ответа дать невозможно, так как точность зависит еще и от того, насколько громоздки были вычисления, и как много требовалось округлений, а также все ли были учтены недочеты. А также если корни будут близки к целым корням, то и точность решения будет выше.
Заключение
В данной контрольной работе был проанализирован один из методов решения систем линейных алгебраических уравнений: метод квадратных корней. Метод был предложен для решения системы Ax=b, где матрица A – симметрическая, хотя не исключено, что метод может использоваться и не для симметрических матриц, тогда исходную систему можно привести к виду AAўx=b Aў, полученную систему легко можно решить методом квадратных корней.
Также в данной системе были проанализированы разного рода матрицы, и их влияние на точность полученного решения. Основываясь на полученных выводах, можно контролировать в каких конкретно моментах удобно решать систему линейных алгебраических уравнений методом квадратных, а когда лучше использовать другой метод.
Литература
Государственные стандарты. ИТ. комплекс стандартов и руководящих документов на АС. Издание официальное. Комплект стандартизации и метрологии СССР. М. – 1991.
Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: «Наука», 1972.
Писсанецки С. Технология разряженных матриц. – М.: Мир, 1988.
Сарычева О.М. Численные методы в экономике: Конспект лекций. Новосибирск: НГТУ, 1995.
Численные методы. Методические указания. НГТУ, 2002.
Размещено на