Потрійний інтеграл
.
У випадку,
коли
– куля
,
у цій формулі
слід покласти
.
Інших будь-яких
загальних
рекомендацій,
коли необхідно
переходити
до тієї чи іншої
системи координат,
дати неможливо.
Це залежить
і від області
інтегрування,
і від підінтегральної
функції. Іноді
потрібно написати
інтеграл у
різних системах
координат і
лише після
цього вирішити,
в якій з них
обчислення
буде найпростішим.
Приклад
1. Обчислити
інтеграл
,
якщо область
обмежена поверхнями
і
.
Розв’язання
Область
є конусом (рис.
5).
Рисунок 5
– Область
Рівняння
конічної поверхні,
яка обмежує
область
,
можна записати
у вигляді
,
а саму область
подати таким
чином:
,
де
– круг радіуса
з центром
.
Тому даний
потрійний
інтеграл можна
звести до
послідовного
обчислення
трьох визначених
інтегралів
у прямокутних
координатах:
.
Проте
зручніше перейти
до циліндричних
координат
.
Тоді прообраз
круга
є прямокутник
,
прообраз конічної
поверхні –
плоска поверхня
,
а прообраз
області
– область
.
Якобіан переходу
до циліндричних
координат
дорівнює
,
підінтегральна
функція в
циліндричних
координатах
дорівнює
.
Зводячи потрійний
інтеграл за
областю
до послідовного
обчислення
трьох визначних
інтегралів,
отримаємо
Зазначимо,
що розставлення
меж інтегрування
в циліндричних
координатах,
як правило,
виконують,
розглядаючи
не область
,
а зміну циліндричних
координат в
області
.
Наочно видно,
що в області
змінна
змінюється
від
до
,
при кожному
значенні
змінна
змінюється
від
до
,
а для кожної
точки
області
змінна
змінюється
в області
від
(значення
в області
)
до
(значення
на конічній
поверхні).
4. Деякі застосування потрійного інтеграла
інтеграл потрійний обчислення змінний
1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою
областю
,
що має об'єм
,
то згідно з
формулою
(4)
.(11)
Застосування
у механіці.
Нехай
– обмежена
замкнена область
простору
,
яку займає
деяке матеріальне
тіло з густиною
,
де
– неперервна
функція в області
,
тоді:
а)маса цього тіла
;(12)
б)моменти
інерції
тіла відносно
координатних
осей
відповідно
дорівнюють
.
(13)
Моменти
інерції
тіла відносно
координатних
площин
обчислюються
за формулами
.(14)
Момент інерції тіла відносно початку координат
(15)
в) статичні
моменти
тіла
відносно координатних
площин
обчислюються
за формулами
;(16)
г) координати
центра маси
тіла визначаються
за формулами
.
(17)
Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:
.
Размещено на