Числовые ряды

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Числовые ряды

Содержание


Лекция. Числовые ряды

1. Определение числового ряда. Сходимость

2. Основные свойства числовых рядов

3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

5. Знакопеременные ряды

Вопросы для самопроверки

Литература

Лекция. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ


1. Определение числового ряда. Сходимость.

2. Основные свойства числовых рядов.

3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

5. Знакопеременные ряды.


1. Определение числового ряда. Сходимость


В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Числовые ряды, Числовые ряды, …, Числовые ряды, …

Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида


Числовые ряды. (1.1)


Числа Числовые ряды называются членами ряда, Числовые рядыобщим или nм членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента Числовые ряды вычисления Числовые ряды-го члена ряда по его номеру Числовые ряды


Пример 1.1. Пусть Числовые ряды. Ряд

Числовые ряды (1.2)


называется гармоническим рядом.


Пример 1.2. Пусть Числовые ряды, Числовые ряды Ряд


Числовые ряды (1.3)


называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при Числовые ряды получается гармонический ряд.


Пример 1.3. Пусть Числовые ряды=Числовые ряды. Ряд


Числовые ряды (1.4)


называется рядом геометрической прогрессии.

Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм Числовые ряды где Числовые ряды – сумма Числовые ряды первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е.


Числовые ряды,

Числовые ряды,

Числовые ряды,

…………………………….

Числовые ряды, (1.5)

…………………………….

Числовая последовательность Числовые ряды при неограниченном возрастании номера Числовые ряды может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е. Числовые ряды

В этом случае число Числовые ряды называется суммой ряда (1.1) и пишется


Числовые ряды.


Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд


Числовые ряды


сходится, и найти его сумму.

Найдем n-ю частичную сумму данного ряда Числовые ряды.

Общий член Числовые ряды ряда представим в виде Числовые ряды.

Тогда Числовые ряды


Отсюда имеем: Числовые ряды. Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:


Числовые ряды


Пример 1.5. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды (1.6)


Для этого ряда Числовые ряды

Числовые ряды. Следовательно, данный ряд расходится.


Замечание. При Числовые ряды ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.


Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды (1.7)


Для этого ряда Числовые ряды

В этом случае предел последовательности частичных сумм Числовые ряды не существует, и ряд расходится.


Пример 1.7. Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):


Числовые ряды


Нетрудно показать, что n-я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при Числовые ряды задается формулой


Числовые ряды.


Рассмотрим случаи:

1) Числовые ряды Тогда Числовые ряды и Числовые ряды.


Следовательно, ряд сходится и его сумма равна Числовые ряды

2) Числовые ряды.Числовые ряды

Тогда Числовые ряды и Числовые ряды.


Следовательно, ряд расходится.

3) Числовые ряды или Числовые ряды Тогда исходный ряд имеет вид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем

Числовые ряды (1.8)


Пример 1.8. Найти сумму ряда


Числовые ряды


Очевидно, что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае Числовые ряды. Тогда из формулы (1.8) следует


Числовые ряды.


Исследование на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.


2. Основные свойства числовых рядов


Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)


Числовые ряды


Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:


Числовые рядыЧисловые ряды


С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:


Числовые ряды


Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член Числовые рядыЧисловые ряды стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.


Числовые ряды (2.1)


Доказательство теоремы следует из того, что Числовые ряды, и если

S – сумма ряда (1.1), то


Числовые ряды

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при Числовые ряды, то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) Числовые рядыЧисловые рядыоднако, как будет показано ниже, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий член ряда Числовые ряды не стремится к нулю при Числовые ряды, то этот ряд расходится.


Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды.


Для этого ряда Числовые ряды


Следовательно, данный ряд расходится.

Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости.Числовые ряды Для ряда (1.6) предел Числовые ряды для ряда (1.7) предел Числовые ряды не существует.


Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток Числовые ряды сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда Числовые ряды

Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства


Числовые ряды

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды Числовые ряды,

Числовые ряды сходятся,

то и ряд Числовые ряды

сходится и его сумма равна Числовые ряды т. е.


Числовые ряды.


Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.


Числовые ряды


Пример 2.3. Вычислить сумму ряда


Числовые ряды.

Общий член ряда Числовые рядыпредставим в виде Числовые ряды

Тогда исходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядов геометрической прогрессии


Числовые ряды


Используя формулу (1.8), вычислим суммы соответствующих рядов геометрической прогрессии.

Для первого ряда Числовые ряды поэтому


Числовые ряды.


Для второго ряда Числовые ряды поэтому


Числовые ряды


Окончательно имеем


Числовые ряды.

3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости


Определить сходимость ряда (1.1) и найти его сумму в случае сходимости непосредственно по определению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьма затруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы с любой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых n членов ряда.

Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых Числовые ряды Такие ряды будем называть положительными рядами.

Теорема 3.1. (признак сравнения)

Пусть даны два положительных ряда


Числовые ряды, (3.1)

Числовые ряды, (3.2)


и выполняются условия Числовые ряды для всех n=1,2,…

Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);

2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).

Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т. е.


Числовые ряды

Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.

2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.

Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.


Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды


Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии


Числовые ряды т. к. Числовые ряды, n=1,2,…


Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.


Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды


Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда


Числовые ряды т. к.

Числовые ряды


Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.


Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел


Числовые ряды


Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда


Числовые ряды


Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды.


Применим предельный признак Даламбера.

В нашем случае Числовые ряды.

Тогда Числовые ряды


Следовательно, исходный ряд сходится.


Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды


Применим предельный признак Даламбера:


Числовые ряды

Числовые ряды


Следовательно, исходный ряд сходится.


Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды


Применим предельный признак Даламбера:


Числовые ряды

Числовые ряды

Следовательно, исходный ряд расходится.


Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду Числовые ряды не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда


Числовые ряды


Теорема 3.3. (Предельный признак Коши*).


Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел


Числовые ряды

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.


Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд


Числовые ряды


Применим предельный признак Коши:

Числовые ряды


Следовательно, исходный ряд сходится.


Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).

Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке Числовые ряды

Тогда ряд Числовые ряды и несобственный интеграл Числовые ряды сходятся или расходятся одновременно.


Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд


Числовые ряды


Применим интегральный признак Коши.

В нашем случае функция Числовые ряды удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл Числовые ряды


Имеем Числовые ряды.


Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.

Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд


Числовые ряды


Функция Числовые ряды удовлетворяет условию теоремы 3.4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл Числовые ряды

Рассмотрим следующие случаи:

1) пусть Числовые ряды Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.

2) пусть Числовые ряды Тогда


Числовые ряды


Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;

3) пусть Числовые ряды Тогда


Числовые ряды


Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.

Окончательно имеем


Числовые ряды

Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при Числовые ряды, т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.

2. Обобщенный гармонический ряд

Похожие рефераты: