Числовые ряды
Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда
т. к.
и параметр
Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).
Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница
Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.
Такие ряды удобнее записывать в виде
(4.1)
или в виде
, (4.2)
где
Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак.
Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница*).
Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.
Таким образом,
если
и
то знакочередующийся
ряд (4.1)((4.2)) сходится.
Пример 4.1. Ряд
(4.3)
сходятся, т. к. для него выполняются все условия признака сходимостиЛейбница.
5. Знакопеременные ряды
Рассмотрим числовые ряды
(5.1)
с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.
Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд
(5.2)
Теорема
5.1. Если ряд
сходится, то
сходится и
исходный ряд
Вообще говоря,
обратное утверждение
неверно, т. е.
из сходимости
ряда (5.1) не следует
сходимость
ряда (5.2). Например,
как было показано
выше ряд
сходится, в то
время как ряд
расходится.
Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.
Таким образом,
ряд
является абсолютно
сходящимся.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают.
Вопросы для самопроверки
1. Как определяется сумма числового ряда?
2. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?
3. Может ли предел общего члена сходящегося числового ряда равняться 3?
4. Что можно
сказать о сходимости
числового ряда
с положительными
членами
,
если ряд
сходится
и его сумма
равна 6.
5. Предел какого выражения используется в предельном признаке Даламбера (Коши)?
6. Какой ряд называется знакочередующимся?
7. Каких условий достаточно для сходимости знакочередующегося ряда?
8. Какой ряд называется знакопеременным?
9. Будет ли сходящимся знакопеременный ряд, для которого ряд из модулей его членов сходится?
Упражнения
1. Найти сумму ряда:
а)
;
б)
в)
2. Исследовать сходимость ряда, пользуясь необходимым признаком и признаком сравнения:
а)
б)
в)
;
г)
3. Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Даламбера:
а)
б)
в)
;
г)
.
4. Исследовать сходимость ряда по предельному признаку Коши:
а)
б)
;
в)
г)
.
5. Исследовать, сходятся абсолютно или условно или расходятся знакопеременные ряды:
а)
б)
в)
г)
.
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учеб. – 2-е изд., перераб. / А. И. Яблонский, А. В. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С. А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л. Н., Размыслович Г. П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
**Риман Георг Фридрих Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик.
Даламбер Жан Лерон (1717 – 1783), французский философ и математик, один из представителей французского просвещения XVIII века.
**Коши Огюстен Луи (1789 – 1857), французский математик.
**Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716), выдающийся немецкий философ и математик.