Xreferat.com » Рефераты по математике » Пределы последовательностей и функций

Пределы последовательностей и функций

Контрольная работа по высшей математике

1. Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью Пределы последовательностей и функций называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: Пределы последовательностей и функций.

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности Пределы последовательностей и функций, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер Пределы последовательностей и функций, зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.

Пределы последовательностей и функций при  Пределы последовательностей и функций.

Если последовательность Пределы последовательностей и функций имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:

Пределы последовательностей и функций.

Пусть функция Пределы последовательностей и функций определена в некоторой окрестности точки Пределы последовательностей и функций. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность Пределы последовательностей и функций сходящуюся к точке Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций. Значения функции в выбранных точках образуют последовательность Пределы последовательностей и функций, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций, если для любой сходящейся к Пределы последовательностей и функций последовательности значений аргумента, отличных от Пределы последовательностей и функций, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

Пределы последовательностей и функций.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при Пределы последовательностей и функций, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций будет меньше e, когда абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций будет меньше Пределы последовательностей и функций, но больше нуля

Пределы последовательностей и функций, если  Пределы последовательностей и функций  при  Пределы последовательностей и функций.

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке Пределы последовательностей и функций».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций при Пределы последовательностей и функций, если для любого числа Пределы последовательностей и функций существует такое число d, что при всех Пределы последовательностей и функций справедливо неравенство Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций.

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке Пределы последовательностей и функций, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции          Пределы последовательностей и функций

Решение: Имеем неопределенность вида Пределы последовательностей и функций. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель Пределы последовательностей и функций, который при Пределы последовательностей и функций не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пределы последовательностей и функций

2. Производная и дифференциал

Пусть функция Пределы последовательностей и функций определена в некоторой окрестности точки Пределы последовательностей и функций.

Производной функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций называется предел отношения Пределы последовательностей и функций, когда Пределы последовательностей и функций (если этот предел существует). Производная функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций обозначается

Пределы последовательностей и функций.

Например, выражение Пределы последовательностей и функций следует понимать как производную функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций.

Определение производной можно записать в виде формулы

Пределы последовательностей и функций.                 (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция Пределы последовательностей и функций не имеет производной в точке Пределы последовательностей и функций. Если предел (4.1) равен Пределы последовательностей и функций, то говорят, что функция Пределы последовательностей и функций имеет в точке Пределы последовательностей и функций бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции Пределы последовательностей и функций интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x. Геометрический смысл производной состоит в том, что Пределы последовательностей и функций – это тангенс угла наклона касательной к графику Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Укажем правила дифференцирования, которые сводят вычисление производных одних функций к вычислению производных других (более простых) функций.

Если функции Пределы последовательностей и функций дифференцируемы в точке Пределы последовательностей и функций, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в точке Пределы последовательностей и функций, и справедливы следующие формулы

Пределы последовательностей и функций.

Если функция Пределы последовательностей и функций имеет обратную функцию Пределы последовательностей и функций и в точке Пределы последовательностей и функций производная Пределы последовательностей и функций, то обратная функция Пределы последовательностей и функций дифференцируема в точке Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций или Пределы последовательностей и функций.

Если функция Пределы последовательностей и функций дифференцируема в точке Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций, то сложная функция Пределы последовательностей и функций также дифференцируема в Пределы последовательностей и функций и верна следующая формула

Пределы последовательностей и функций  или  Пределы последовательностей и функций.

Пример.

Найти производную функции           Пределы последовательностей и функций

Решение:

Пределы последовательностей и функций

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)

Функция Пределы последовательностей и функций, определенная во всех точках промежутка Пределы последовательностей и функций, называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е,

если Пределы последовательностей и функций то при

Пределы последовательностей и функций – возрастающая, Пределы последовательностей и функций – убывающая.

Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: Пределы последовательностей и функций. Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего Пределы последовательностей и функций. Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума).

Точка Пределы последовательностей и функций называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции Пределы последовательностей и функций, а значение Пределы последовательностей и функций называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки Пределы последовательностей и функций такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке Пределы последовательностей и функций, т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) Пределы последовательностей и функций (рис. 1).

Пределы последовательностей и функцийПределы последовательностей и функцийу                 max        у

min

f(х0)                                                 f(х0)

О  х0–d       х0     х0+d   х           О х0–d         х0          х0+d х

точка максимума точка минимума

Рис. 1

Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий.

Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций.

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций.

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Провести полное исследование функции

Пределы последовательностей и функций

Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:

найти область определения функции;

исследовать на четность и нечетность функцию;

найти точки разрыва функции;

найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

Областью определения функции является множество Пределы последовательностей и функций.

Так как Пределы последовательностей и функций и Пределы последовательностей и функций, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке Пределы последовательностей и функций.

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая Пределы последовательностей и функций является вертикальной асимптотой, т.к.

Пределы последовательностей и функций,       Пределы последовательностей и функций

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) Пределы последовательностей и функций,

где                     Пределы последовательностей и функций;

Пределы последовательностей и функций

Таким образом, прямая Пределы последовательностей и функций является единственной наклонной асимптотой и на Пределы последовательностей и функций, и на Пределы последовательностей и функций.

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций, Пределы последовательностей и функций, т.е. точка пересечения с осью Пределы последовательностей и функций - Пределы последовательностей и функций.

б) С осью Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций, Пределы последовательностей и функций, т.е. точка пересечения с осью Пределы последовательностей и функций - Пределы
										<div class=

Похожие рефераты: