Xreferat.com » Рефераты по математике » Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур

ABSTRACT

     Mapping geometrical arrangements of a fiber space of differential equations, bound mapping of Hopf-Colle is under construction.

 

Устанавливается изоморфизм  отображений Хопфа-Коула (Hopf E, Cole J. D.) [ 1, 2  3 ]  и отображений геометрических структур дифференциальных уравнений, что позволяет определить сферы действия геометрического исчисления с соответствующей метрикой. Эта сфера действия соответствующих метрик определяется линейными и нелинейными связями.

    Имеется проблема.

    В настоящее время геометрии искривленных пространств позволяют извлекать  физическую информацию в основном о системах космических и галактических масштабов: релятивистская теория гравитации (ОТО) и новая релятивистская теория гравитации (РТГ), в которых определяется «метрический тензор риманового пространства».

   Но геометрия – раздел математики. Геометрическое исчисление имеет силу во всех разделах физики. Примером может служить интегральное исчисление, которое  широко используется во всех разделах физики.

   С помощью метрического тензора опускают и поднимают индексы у тензоров, находят их абсолютные переносы, определяют ковариантные производные и  связности… Итак, посредством определенных в ОТО и РТГ метрических тензоров дважды поднимаются индексы, например, у тензора диэлектрической проницаемости в электродинамике, определяется перенос составляющих вектора электрической напряженности. Каков физический смысл этих действий? Ведь метрические тензоры в ОТО и РТГ – это гравитационные потенциалы!

    В материальном мире реализуются многомерные пространства. С каждой физической системой и с каждым процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомерных расслоенных пространств возможно во всех разделах физики. И не просто возможно, а геометрии расслоенных пространств составляют основу теорий всех разделов физики.

    Геометрические действия с соответствующей метрикой возможно только в рамках соответствующей связи. При переходе к другой связи посредством соответствующих отображений происходит переход и к другой метрике посредством этих же отображений. Введение тензоров (скаляров, спиноров, векторов, тензоров более высокого ранга) производится только относительно соответствующих преобразований обобщенных координат. В физике вводятся многомерные  пространства внутренних степеней свободы. Примером пространства внутренних степеней свободы в физике может служить изотопическое пространство, векторы в котором вводятся на основе преобразований координат изотопического пространства. В пространстве внутренних степеней свободы вводятся обобщенные  базовые и слоевые координаты.

    В качестве демонстрации данных утверждений и рассматривается сформулированная здесь задача.

    Отображение Хопфа-Коула связывает два дифференциальных уравнения и их решения [ 1, 2, 3 ]: нелинейное уравнение Бюргерса  [ 4 ] и уравнение теплопроводности (диффузии). Эти уравнения отображают соответствующие связи. Этих уравнений мы рассматриваем частные случаи (демонстрируется сам принцип)  и  обобщаем их на слоевые пространства.

   Нелинейное уравнение  (3) (см. Табл.)  получено  из уравнения типа уравнения Бюргерса в классе решений

Отображение геометрических структур       т.е. Отображение геометрических структур                                   (1)

с использованием отображения (2) [ 5 ]:

Отображение геометрических структур                                                                                        Таблица

Дифференциальное уравнение типа уравнения теплопроводности Отображение геометрических структур          (3)             Отображение геометрических структур-постоянные. Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур   Отображение геометрических структур   Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур - длина  вектора   Отображение геометрических структур    в пространстве Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур-  постоянная интегрирования. Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур          (5)                        

(8)
Отображение геометрических структур

                                                     Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур        (10)

Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур    (12)           

Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур    (5’)                            

Отображение геометрических структур                 

Отображение геометрических структур

Дифференциальные уравнения, связанные отображением Хопфа-Коула Отображение геометрических структур           (2) Отображение геометрических структур - постоянные.     слоевые пространства     слоевые координаты метрические функции    решение дифференциальных уравнений       дифференциальные уравнения для метрической функции  решения дифференциальных уравнений для метрических функций Отображение геометрических структур  Отображение геометрических структур  Отображение геометрических структур отображение Хопфа-Коула для метрических функций Отображение геометрических структур     (7)            ковариантные слоевые координаты Отображение геометрических структур   Отображение геометрических структур составляющие  метрического тензора Отображение геометрических структур     Отображение геометрических структур - однородные степени нуль в слоевых координатах. коэффициенты  связностей Отображение геометрических структур   Отображение геометрических структур - однородные степени – 1 в слоевых координатах . длина векторов Отображение геометрических структур  Отображение геометрических структур        условие Эйлера Отображение геометрических структур        выполнение свойства Отображение геометрических структур    (14)             дважды ковариантные составляющие метрического тензора Отображение геометрических структур  Отображение геометрических структур Уравнение, следующее из нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Бюргерса Отображение геометрических структур  (4)        Отображение геометрических структур- постоянные Отображение геометрических структур   Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур  Отображение геометрических структур                     Отображение геометрических структур       - длина вектора Отображение геометрических структур в  пространстве Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур  где  Отображение геометрических структур  - постоянная интегрирования  и       Отображение геометрических структур Отображение геометрических структур  Отображение геометрических структур              (6)                
(9)
Отображение геометрических структур    (9)                                                                    

                                       

Отображение геометрических структур            

                                         (11)

Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур(13)

Отображение геометрических структур               (6’)

Отображение геометрических структур)

 

Отображение геометрических структур

     Из Таблицы следует, что структура составляющих контравариантных векторов, метрического тензора, связностей сохраняется. Изменяется их конкретное содержание. Отображения Хопфа-Коула меняют длину слоевых координат . Поскольку выполняется условие Эйлера и сохраняется свойство (14),то коэффициенты связностей найдены правильно. Итак, 1)если связь задана дифференциальным уравнением вида (3), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (10) и метрикой (5), 2)если же связь задана нелинейным дифференциальным уравнением вида (4), тогда  следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (11) и метрикой (6), которые могут быть получены отображением Хопфа-Коула (2).

   

                                                        ЛИТЕРАТУРА

1.Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics/ Quart App. Vath.,1951, 9, pp. 225-236.

2.Hopf T. The partial differential equation   Отображение геометрических структурComm. Pure  Appl.Math.,1950, pp/ 201-230.

3.Абловиц М., Сигур X.  Солитоны и метод обратной задачи. Перевод с англ. -М.: Мир, 1987,  180 с.

4.Burgers J. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence/Adv. Appl. Mech, 1948, 1, pp. 171-199.

5.Севрюк В.П. Геометрии расслоенных пространств теории обобщенных криволинейных координат. ВИНИТИ , N 3378-B90 Деп., 145 с.

Похожие рефераты: