Xreferat.com » Рефераты по математике » Численные методы

Численные методы

ЛЕКЦИЯ №1


Численные методы представляют собой набор алгоритмов, позволяющих получать приближенное (численное) решение математических задач.

Погрешности, возникающие при решении задач, бывают двух видов:

1)абсолютная

Численные методыЧисленные методыp - p Численные методы , где p - точное значение, p - не точное.

2)относительная

Численные методы

Эмпирические данные:

Численные методыЧисленные методыЧисленные методы


Погрешности Случайные Ошибки

измерительного помехи набора

прибора

Нахождение нулей функции;

Системы линейных и нелинейных уравнений;

Приближение функции. Интерполяция. Экстраполяция.

Решение дифференциальных уравнений.

Расчет собственных значений и собственных векторов матриц.


НАХОЖДЕНИЕ НУЛЕЙ ФУНКЦИИ


Общая постановка задачи

Дана некоторая функция f(х). Необходимо найти хотя бы одно значение х, при котором f(х)=0.

Этапы:

Отделение корней.

Область определения функции разбивается на отрезки, на каждом из которых

содержится единственный корень функции.

Уточнение корня при помощи одного из численных методов на каждом из выбранных отрезков.

Нуль функции – точка пересечения графика функции с осью Ох.

Непрерывность f(х) в точке х0:

Численные методы

Производная функции: f' =Численные методыЧисленные методы

Физический смысл: f'(х0)- скорость

Геометрический смысл: f'(х0)-тангенс угла наклонной касательной к графику функции, проведенной в данной точке.

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна. Обратное не верно.

Предел функции в точке: Численные методы

Численные методыx: | x-x0| <Численные методы

Численные методыε >0 Численные методы(ε)

| f(x) – A| < ε

Градиент функции – это вектор.

Численные методы

Геометрический смысл : показывает направление локального возрастания функции в данной точке .

Численные методы


Наблюдаем смену знака функции.

Исследуем функцию на монотонность.

Теорема №1: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и в концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке функция имеет хотя бы один корень.

f(x) Численные методы C[a, b]

f(a) * f(b) < 0 → Численные методыЧисленные методыЧисленные методы[a, b] f(Численные методы)=0

Теорема№2: если функция непрерывна и монотонна на отрезке и в концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует только единственный корень функции.

Численные методыЧисленные методыf(x) Численные методыC[a, b], f ( ) и f(a) * f(b) < 0→Численные методыЧисленные методыЧисленные методы[a, b] f(Численные методы) = 0


МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ

Численные методы

Дано: f(x) непрерывна на [a,b], на [a,b] существует динственный корень f(x)=0, ε

1) Делим отрезок пополам. Получаем точку

с= (b + a)/2.

Если f(a) * f(c) < 0,то b:=c.

Если f(b) * f(c) < 0,то а:=с

2) Продолжаем делить [a, b] на 2, пока|b-a| > ε, где ε- заданная точность.

ЛЕКЦИЯ №2


МЕТОД ХОРД

Дано: 1) f(x) Численные методы C''[a, b]

2) f(a) * f(b) < 0

3) f'(x) и f''(x) знакопостоянна на отрезке [a, b].

4) ε, чтобы получить f(x)=0

Численные методы

1) f(b) 2)

f'(x) >

0 f'(x) > 0

f''(x) >

0 f''(x) < 0


Численные методы f(a) a x


Численные методы 3) 4)

f'(x)

<0 f'(x) <0

f''(x)

<0 f''(x) > 0


Численные методы (2.1)

x1(x1,f(x1))

Численные методы

b – неподвижный конец отрезка.


Для случаев 1), 3)

Численные методы


Для случаев 2), 4)

Численные методы

Можем ввести некоторую с:

Численные методы (2.2)

Численные методы (2.3)

Алгоритм:

Вычисляем неподвижный конец отрезка секущих по формуле(2.3)

Находим первое приближение к корню по формуле (2.1)

Находим первое приближение к корню по формуле (2.2) до тех пор, пока модуль разности двух последних приближений не станет меньше заданной точности. В этом случае, значением корня является последнее приближение.

МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ


Дано: 1) f(x)Численные методы C''[a, b];

2) f(a)*f(b) < 0;

3) f'(x) и f''(x) знакопостоянны на [a, b];

4) ε, чтобы решить уравнение f(x)=0

Численные методы

Численные методы

т. х0

y=f(x0)+f'(x0)(x-x0) –

уравнение касательной


a x2 x1 b

y=f(b)+f’(b)*(x-b)

(x1,0) : 0= f(b)+ f’(b)(x1-b)

x1=Численные методы

x2=Численные методы

xn+1=Численные методы (2.4)


Второй подход (метод Ньютона):

Численные методы-приближение

0 = f(Численные методы) = f(xn+hn) ≈ f(xn)+f'(xn)*hn


x0 =Численные методы начальное приближение (2.5)


Алгоритм:

По формуле (2.5) находим первое приближение к корню х0 (начальное)

По формуле (2.4) находим последующее приближение к корню до тех пор, пока модуль разности двух последних приближений не станет заданной точности. В этом случае корень равен последнему приближению.


МЕТОД ИТЕРАЦИЙ


Дано: 1) f(x)Численные методыC''[a,b]

2)f(a)*f(b)<0

3)f'(x) знакопостоянна

4)ε, f(x)=0

Уравнение f(x)=0 заменяется уравнением вида x=φ(x)

φ(x)=x-f(x)*C (2.6)

Численные методы Пока |xn+1-xn|<ε

φ' >0

Похожие рефераты: