Понятие случайного процесса в математике
При произвольном ε > 0, то X(t) – эргодический по математическому ожиданию стационарный случайный процесс.
Действительно, учитывая выражение
Для Т≥Т0 имеем
(1/T) ∫ |k(τ)|dτ = (1/T)[ ∫ |k(τ)|dτ + ∫ |k(τ)|dτ ≤ (1/T) ∫ |k(τ)|dτ ε(1 – T1/T).
Переходя к пределу при Т → ∞, найдём
0 ≤ lim ∫ |k(τ)|dτ = ε.
Поскольку здесь ε > 0 – произвольная, сколько угодно малая величина, то выполняется условие эргодичности по математическому ожиданию. Поскольку это следует из условия
О неограниченном убывании k(τ), то теорему следует считать доказанной.
Доказанные теоремы устанавливают конструктивные признаки эргодичности стационарных случайных процессов.
Пусть
X(t) = m + X(t), m=const.
Тогда M[X(T)] = m, и если X(t) - эргодический стационарный случайный процесс, то условие эргодичности Lim M {|(1 / T)∫ X(t)dt|2} = 0 после несложных преобразований можно представить в виде
Lim M{[(1/T) ∫ X(t)dt – m]2} = 0
Отсюда следует, что если X(t) – эргодический по математическому ожиданию стационарный случайный процесс, то математическое ожидание процесса X(t) = m + X(t) приближенно может быть вычислено по формуле
M = (1/T) ∫ x(t)dt
Здесь Т – достаточно длительный промежуток времени;
x(t) – реализация процесса X(t) на отрезке времени [0, Т].
Можно рассматривать эргодичность стационарного случайного процесса X(t) по корреляционной функции.
Стационарный случайный процесс X(t) называется эргодическим по корреляционной функции, если
Lim M {[ (1/T) ∫ X(t) X(t + τ)dt – k(τ)]2]} = 0
Отсюда следует, что для эргодического по корреляционной функции стационарного случайного процесса X(t) можно положить
k (τ) = (1/T) ∫ x(t)x(t + τ)dt
при достаточно большом Т.
Оказывается, условие
ограниченности k(τ) достаточно для эргодичности по корреляционной функции стационарного нормально распределенного процесса X(t).
Заметим, случайный процесс называется нормально распределённым, если любая его конечномерная функция распределения является нормальной.
Необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного нормально распределенного случайного процесса является соотношение
τ0 : lim (1/T) ∫ [k(τ)2 + k(τ + τ0) k(τ – τ0)] (1 – τ/T)dτ = 0
Литература
Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика» / ЮНИТИ / Москва 2007.
Ю.В. Кожевников «Теория вероятностей и математическая статистика» /Машиностроение/ Москва 2002.
Б.В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» /Главная редакция физико-математической литературы/ Москва 1988.